Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是為（0,3）、（-1,0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′.

（1）若拋物線過點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式；

（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△OC′D的周長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)M在何處時(shí)；△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）時(shí)，△AMA′的面積有最大值，且最大值為.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得A′點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；

（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

（1）∵A′B′O′C′由ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且A的坐標(biāo)為（0，3），得

點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

將A，A′C的坐標(biāo)代入，得

，解得，

拋物線的解析式y=-x2+2x+3；

（2）∵AB∥OC，

∴∠OAB=∠AOC=90°，

∴OB=，

又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，

∴△C′OD∽△BOA，又OC′=OC=1，

∴，

又△ABO的周長(zhǎng)為4+，

∴△C′OD的周長(zhǎng)為．

（3）作MN⊥x軸交AA′于N點(diǎn)，

設(shè)M（m，-m2+2m+3），

AA′的解析式為y=-x+3，N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m+3），MN的長(zhǎng)為-m2+3m，

S△AMA′=MNxA′=（-m2+3m）×3

=-（m2-3m）=-（m-）2+，

∵0＜m＜3，

∴當(dāng)m=時(shí)，-m2+2m+3=，M（，），

△AMA′的面積有最大值．