Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不能到達(dá)點(diǎn)B、C），連接AD，作∠ADE=45°，DE交AC于E．當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，線段AE的長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：分類討論：當(dāng)EA=ED，△ADE為等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠EAD=45°，∠AED=90°，則AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DE=AC=1；當(dāng)DA=DE，△ADE為等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，而∠EDC+∠DEC=135°，所以∠ADB=∠DEC，根據(jù)三角形相似的判定得到△ABD∽△DCE，則BD：CE=AB：DC=AD：DE，利用AD=DE得到AB=DC=2，BD=CE；由于∠BAC=90°，AB=AC=2，跟級(jí)等腰直角三角形的性質(zhì)得BC=2，所以BD=2-2=EC，然后根據(jù)AE=AC-EC進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：當(dāng)EA=ED，△ADE為等腰三角形，
∵∠ADE=45°，
∴∠EAD=45°，∠AED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，如圖，
∵AB=AC=2，
∴DE=AC=1；
當(dāng)DA=DE，△ADE為等腰三角形，如圖，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，
而∠EDC+∠DEC=135°，
∴∠ADB=∠DEC，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴BD：CE=AB：DC=AD：DE，
而AD=DE，
∴AB=DC=2，BD=CE，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=AC=2，
∴BD=2-2=EC，
∴AE=AC-EC=2-（2-2）=4-2．
故答案為1或4-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．