Question

在梯形ABCD中，DC∥AB，BD=AD，AC=AB，∠ADB=90°，求證：
（1）∠CAB=30°；
（2）若BD和AC交于E，則BE=BC．

Answer 1

證明：（1）過D作DF⊥AB交AB于點F，過C作CG⊥AB交AB于點G，
∴DF∥CG，
∵DC∥AB，
∴DF=CG；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴DF是邊AB的中垂線，
∴DF=AB，
∴CG=AB；
在△ABC中，AC=AB，
∴CG=AC，
∴∠CAB=30°；

（2）在△ABC中，∠CAB=30°，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=×（180-30）=75°；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CEB=45°+30°=75°，
∴∠ACB=∠BEC，
∴BE=BC．
分析：（1）根據(jù)梯形的性質(zhì)，過點D、C作邊AB的垂線，在△ADB中和△ABC中，利用題中的已知條件和直角三角形的性質(zhì)來證明∠CAB=30°；
（2）利用（1）的結(jié)論，在△ABC和△AEB中找∠ACB=∠BEC，等角對等邊來證明BE=BC．
點評：本題主要考查的是梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角的補角的知識．