在邊長為8的正方形ABCD中,點E是BC邊上的點,BE=6,點H是正方形邊上的一點,連接BH,交線段AE于點F,且BH=AE,則線段FH的長是( )
A.5
B.5或4.8
C.5.2或5
D.10
【答案】
分析:首先分兩種情況分析,①可證得Rt△ABE≌Rt△BCH,繼而證得△BEF∽△BHC,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得答案;
②首先連接EH,易證得Rt△ABE≌Rt△BAH,繼而可證得四邊形ABEH是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),即可求得答案.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191045942183777/SYS201311011910459421837019_DA/images0.png)
解:分兩種情況討論:
①如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCH=90°,
在Rt△ABE和Rt△BCH中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191045942183777/SYS201311011910459421837019_DA/0.png)
,
∴Rt△ABE≌Rt△BCH(HL),
∴∠AEB=∠BHC,BH=AE,
∵∠EBF=∠HBC,
∴△BEF∽△BHC,
∴BE:BH=NF:BC,
在Rt△ABE中,AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191045942183777/SYS201311011910459421837019_DA/1.png)
=10,
∴BH=10,
即6:10=BF:8,
解得:BF=4.8,
∴FH=BH-BF=10-4.8=5.2;
②如圖2,連接EH,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABE=∠BAH=90°,
在Rt△ABE和Rt△BAH中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191045942183777/SYS201311011910459421837019_DA/2.png)
,
∴Rt△ABE≌Rt△BAH(HL),
∴AH=BE,AE=BH,
∵AH∥BE,
∴四邊形ABEH是平行四邊形,
∴BF=FH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191045942183777/SYS201311011910459421837019_DA/3.png)
BH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191045942183777/SYS201311011910459421837019_DA/4.png)
AE=5.
綜上,線段FH的長是:5.2或5.
故選C.
點評:此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.