Question

求證：等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

已知：四邊形ABCD是等腰梯形，AB＝CD，AD∥BC．

求證：A、B、C、D在同一個(gè)圓上．

Answer 1

答案：
解析：

解：如下圖作AB的垂直平分線l1，作BC的垂直平分線l2， 　　∵AB與BC相交， 　　∴l1與l2必相交，設(shè)交點(diǎn)O，∵O在l1上，∴OA＝OB． 　　又O在l2上，∴OB＝OC． 　　∵等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，l2為BC的垂直平分線， 　　∴l2為等腰梯形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，∴OA＝OD， 　　∴OA＝OB＝OC＝OD， 　　∴A、B、C、D在以O(shè)為圓心的圓上． 　　思路點(diǎn)撥：要證明A、B、C、D在同一個(gè)圓上，根據(jù)圓的定義只要找到O點(diǎn)，使得A、B、C、D到O點(diǎn)的距離相等．我們由前面的知識(shí)可知，到A、B距離相等的點(diǎn)在AB的垂直平分線上，因此，只需作出AB與BC的垂直平分線即可． 　　評(píng)注：本題的關(guān)鍵是找出O點(diǎn)，然后根據(jù)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)證明OA＝OB＝OC＝OD，除了分別作出AB與BC的中垂線之外，也可分別作出AB與CD的中垂線，它們也相交于O點(diǎn)，并且證明OA＝OB＝OC＝OD時(shí)，上述證明方法中用了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，也可以利用全等三角形的方法證明． 　　小結(jié)：證明幾個(gè)點(diǎn)共圓的方法． 　　(1)要證明幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，可以根據(jù)定義，證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)距離相等． 　　注意：這個(gè)定點(diǎn)可能是已知的，也可能是未知的，可以通過(guò)作中垂線等方法找到它． 　　(2)證明五點(diǎn)共圓是先證三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，然后再證第4個(gè)點(diǎn)和第5個(gè)點(diǎn)均在這個(gè)圓上．