Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直角梯形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（0，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)C在軸的正半軸上，過點(diǎn)O且以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2） 在軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以Q為圓心的圓同時(shí)與軸、直線OP相切．若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)M為線段OP上一動(dòng)點(diǎn)（不與O點(diǎn)重合），過點(diǎn)O、M、D的圓與軸的正半軸交于點(diǎn)N．求證：OM+ON為定值．

（4）在軸上找一點(diǎn)H，使∠PHD最大．試求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） （3）H                               

【解析】

試題分析：解：(1) 設(shè)拋物線的解析式為，

將（0，0）代入，得 ，

∴拋物線的解析式為即       2分

                                                      4分

（2）若⊙Q在直線OP上方，則Q與D點(diǎn)重合，此時(shí)Q₁；           

若⊙Q在直線OP下方，與軸、直線OP切于E、F，

則QE=QF，QE⊥軸，QF⊥OP

∴OQ平分∠EOF

∵∠EOF="120°"   ∴∠FOQ=60°

∵∠POC=30°，則∠QOC=30°                                  

設(shè)Q，則

解得（舍去），      ∴              8分

（3）∵在過點(diǎn)O、M、D的圓中，有∠MOD=∠NOD ∴      ∴MD= ND

易得OD平分∠AOP，DA⊥軸，DP⊥OP ∴DA= DP

可證得△NAD≌△MPD（HL）  ∴MP= AN  

∴OM+ON= OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=，

則OM+ON=，即OM+ON為定值．                              11分

（4）作過P、D兩點(diǎn)且與軸相切于點(diǎn)H的圓S，

則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大．                         12分

設(shè)，則由HS=SD=SP

可得，

H                                14分

考點(diǎn)： 圓與二次函數(shù)

點(diǎn)評：此題比較綜合，把幾何圖形和二次函數(shù)結(jié)合起來考察學(xué)生，要求學(xué)生都知識(shí)的掌握程度比較高，解答過程稍微比較復(fù)雜，是區(qū)分學(xué)生成績的題目。