Question

（2012•溧水縣一模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=3．點(diǎn)E在線段BA上從B點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終保持EF=5，且CF＞BE，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，連接AP．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．

（1）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AP的長(zhǎng)度是如何變化的？

D

A．一直變短     B．一直變長(zhǎng)    C．先變長(zhǎng)后變短    D．先變短后變長(zhǎng)
（2）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AP的長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值，當(dāng)AP的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置應(yīng)該在

AD的中點(diǎn)

．
（3）以P為圓心作⊙P，當(dāng)⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時(shí)，求出此時(shí)t的值，并指出此時(shí)⊙P的半徑長(zhǎng)．．

Answer 1

分析：（1）由圖形可得出在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由CF大于BE，AP的長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值，如圖所示，即當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，AP最小，故AP的長(zhǎng)度先變短后變長(zhǎng)；
（2）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AP的長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值，當(dāng)AP的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置應(yīng)該在AD的中點(diǎn)，理由為：由P為EF的中點(diǎn)得到一對(duì)邊相等，再由一對(duì)直角相等及一對(duì)對(duì)頂角相等，利用AAS可得出三角形AEP與三角形DFP全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AP=DP，則此時(shí)P為AD的中點(diǎn)；
（3）分兩種情況考慮：當(dāng)⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、AD、CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，連接PQ，PR，PN，如圖3所示，可得出四邊形AQPR和四邊形RPND為兩個(gè)全等的正方形，其邊長(zhǎng)為大正方形邊長(zhǎng)的一半，在直角三角形PQE中，由PE與PQ的長(zhǎng)，利用勾股定理求出EQ的長(zhǎng)，進(jìn)而由BA+AQ-EQ求出BE的長(zhǎng)，即為t的值，并求出此時(shí)⊙P的半徑；
當(dāng)⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，如圖4所示，同理求出BE的長(zhǎng)，即為t的值，并求出此時(shí)⊙P的半徑．

解答：解：（1）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AP的長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值，即當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，AP最短，
則AP的長(zhǎng)度是先變短后變長(zhǎng)；

（2）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AP的長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值，當(dāng)AP的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，如圖所示，
∵P為EF的中點(diǎn)，∴EP=FP，
∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠PDF=90°，
在△AEP和△DFP中，

∠A=∠PDF=90° ∠APE=∠DPF EP=FP

，
∴△AEP≌△DFP（AAS），
∴AP=DP，
則此時(shí)P為AD的中點(diǎn)；

（3）如圖3，當(dāng)⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、AD、CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，
連接PQ、PR、PN，則PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，
則四邊形AQPR與四邊形RPND為兩個(gè)全等的正方形，
則PQ=AQ=AR=DR=

1

2

AD=

3

2

，
在Rt△PQE中，EP=

5

2

，由勾股定理可得：EQ=2，
則BE=BA-EQ-AQ=6-2-

3

2

=

5

2

，
解得t=

5

2

．
此時(shí)⊙P的半徑為

3

2

；
如圖4，當(dāng)⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，
類比圖3可得，EQ=2，AQ=

3

2

，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+

3

2

-2=

11

2

，
∴t=

11

2

，此時(shí)⊙P的半徑為

3

2

．
故答案為：（1）D；（2）AD的中點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓綜合題，涉及的知識(shí)有：正方形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道探究型的壓軸題．