Question

【題目】（本題滿分10分）如圖，點E是邊長為1的正方形ABCD的邊AB上任意一點（不含A、B），過B、C、E三點的圓與BD相交于點F，與CD相交于點G，與∠ABC的外角平分線相交于點H．

（1）求證：四邊形EFCH是正方形；

（2）設(shè)BE＝x，△CFG的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) 當x＝ 時，y有最大值

【解析】（1）證明：∵B、H、C、F、E在同一圓上，且∠EBC＝90°

∴∠EFC＝90°，∠EHC＝90°

又∠FBC＝∠HBC＝45°，∴CF＝CH

∵∠HBF＋∠HCF＝180°，∴∠HCF＝90°

∴四邊形EFCH是正方形

（2）∵∠BFG＋∠BCG＝180°，∴∠BFG＝90°

由（1）知∠EFC＝90°，∴∠CFG＋∠BFC＝∠BFE＋∠BFC

∴∠CFG＝∠BFE，∴CG＝BE＝x

∴DG＝DC－CG＝1－x

易知△DFG是等腰直角三角形∴△CFG中CG邊上的高為 DG＝ ( 1－x )

∴y＝ x· ( 1－x )＝－ ( x－ )2＋

∴當x＝ 時，y有最大值