如圖1至圖4中,兩平行線AB、CD間的距離均為6,點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn).
思考
如圖1,圓心為0的半圓形紙片在AB,CD之間(包括AB,CD),其直徑MN在AB上,MN=8,點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn),設(shè)∠MOP=α.
當(dāng)α=______度時(shí),點(diǎn)P到CD的距離最小,最小值為______.
探究一
在圖1的基礎(chǔ)上,以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心,在AB,CD 之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片,直到不能再轉(zhuǎn)動為止,如圖2,得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=______度,此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是______.
探究二
將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉,使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB,CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn).
(1)如圖3,當(dāng)α=60°時(shí),求在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)P到CD的最小距離,并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值;
(2)如圖4,在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中,要保證點(diǎn)P能落在直線CD上,請確定α的取值范圍.
(參考數(shù)椐:sin49°=,cos41°=,tan37°=.)

【答案】分析:思考:根據(jù)兩平行線之間垂線段最短,以及切線的性質(zhì)定理,直接得出答案;
探究一:根據(jù)由MN=8,MO=4,OY=4,得出UO=2,即可得出得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30度,此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是 2;
探究二:(1)由已知得出M與P的距離為4,PM⊥AB時(shí),點(diǎn)MP到AB的最大距離是4,從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6-4=2,即可得出∠BMO的最大值;
(2)分別求出α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范圍.
解答:解:思考:根據(jù)兩平行線之間垂線段最短,直接得出答案,當(dāng)α=90度時(shí),點(diǎn)P到CD的距離最小,
∵M(jìn)N=8,
∴OP=4,
∴點(diǎn)P到CD的距離最小值為:6-4=2.
故答案為:90,2;


探究一:∵以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心,在AB,CD 之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片,直到不能再轉(zhuǎn)動為止,如圖2
∵M(jìn)N=8,MO=4,OY=4,
∴UO=2,
∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30度,此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是 2;

探究二
(1)∵α=60°,
∴△MOP是等邊三角形,
∴MO=MP=4,
∴PM⊥AB時(shí),點(diǎn)P到AB的最大距離是4,
由已知得出M與P的距離為4,
從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6-4=2,
當(dāng)扇形MOP在AB,CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時(shí),弧MP與AB相切,
此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最大,∠BMO的最大值為90°;

(2)如圖3,由探究一可知,點(diǎn)P是弧MP與CD的切點(diǎn)時(shí),α最大,即OP⊥CD,此時(shí)延長PO交AB于點(diǎn)H,α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,
如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在CD上且與AB距離最小時(shí),MP⊥CD,α達(dá)到最小,
連接MP,作HO⊥MP于點(diǎn)H,由垂徑定理,得出MH=3,在Rt△MOH中,MO=4
∴sin∠MOH==
∴∠MOH=49°,
∵α=2∠MOH,
∴α最小為98°,
∴α的取值范圍為:98°≤α≤120°.
點(diǎn)評:此題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及平行線之間的關(guān)系和解直角三角形等知識,根據(jù)切線的性質(zhì)求解是初中階段的重點(diǎn)題型,此題考查知識較多綜合性較強(qiáng),注意認(rèn)真分析.
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在圖1至圖3中,直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O,∠1=∠2=45°.
(1)如圖1,若AO=OB,請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2,其中AO=OB.求證:AC=BD,AC⊥BD;
(3)將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到圖3,求
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操作與探究
探索:在如圖1至圖3中,△ABC的面積為a.
(1)如圖1,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接DA、若△ACD的面積為S1,則S1=
 
(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如圖2,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE、若△DEC的面積為S2,則S2=
 
(用含a的代數(shù)式表示);
(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖3)、若陰影部分的面積為S3,則S3=
 
(用含a的代數(shù)式表示).
發(fā)現(xiàn):像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍,連接所得端點(diǎn),得到△DEF(如圖3),此時(shí),我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次、可以發(fā)現(xiàn),擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的
 
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圖1至圖4的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網(wǎng)格(每個(gè)小方格的邊長均為1個(gè)單位長),其對稱中心為點(diǎn)O.
如圖1,有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點(diǎn)O,它以每秒1個(gè)單位長的速度由起始位置向外擴(kuò)大(即點(diǎn)O不動,正方形EFGH經(jīng)過一秒由6×6擴(kuò)大為8×8;再經(jīng)過一秒,由8×8擴(kuò)大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時(shí)的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴(kuò)大、再縮小.
另有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個(gè)單位長的速度,沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按A→B→C→D→A移動(即正方形MNPQ從點(diǎn)P與點(diǎn)A重合位置開始,先向左平移,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),再向上平移,…).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時(shí)開始運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒,它們的重疊部分面積為y個(gè)平方單位.
(1)當(dāng)正方形MNPQ第一次回到起始位置時(shí),正方形EFGH是否也變化到起始位置?
(2)請你在圖2和圖3中分別畫出x為3秒、18秒時(shí),正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(3)正方形EFGH第一次充滿正方形ABCD之前(即x≤7時(shí)),何時(shí)正方形EFGH和正方形MNPQ重疊部分的面積為3平方單位.
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(2012•和平區(qū)模擬)圖①至圖③中,兩平行線AB、CD間的距離均為6,點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn).扇形紙片OMP在AB、CD之間(包括AB、CD),扇形OMP的圓心角∠MOP=α,半徑OM=4.如圖①,扇形的半徑OM在AB上.如圖②③,將扇形紙片OMP繞點(diǎn)M在AB、CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn).
(Ⅰ)如圖②,當(dāng)α=60°時(shí),在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)P到直線CD的最小距離是
2
2
,旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值是
90°
90°
;
(Ⅱ)如圖③,在扇形紙片OMP旋轉(zhuǎn)的過程中,要使點(diǎn)P落在直線CD上,α的最大值是
120°
120°

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如圖1,小明將一張長方形紙片沿對角線剪開,得到兩張三角形紙片(如圖2)量得它們的斜邊長為10cm,較小銳角為30°再將這兩張三角形紙片擺成如圖3的形狀,但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上,且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合(在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示).

小明在對這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問題,請你幫忙解決.
(1)將圖3中的△ABC沿BD向右平移到圖4的位置,使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,請你求出平移的距離;
(2)將圖3中的△ABC繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖5的位置,A1F交DE于G,若DG=kEG,求k的值;
(3)將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置,AB1交DE于點(diǎn)H,請證明:AH=DH.

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