Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD與圓相切，請(qǐng)?jiān)谙聢D中，僅用無(wú)刻度的直尺按要求畫(huà)圖.

（1）若BC是圓的直徑，畫(huà)出平行四邊形ABCD的邊CD上的高；

（2）若CD與圓相切，畫(huà)出平行四邊形ABCD的邊BC上的高AE.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接AC，根據(jù)圓周角定理可得∠BAC＝90°,則AC⊥AB，由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，繼而可得AC即為平行四邊形ABCD的邊CD上的高；

（2）連接BD交圓于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則CF⊥BC，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CF，根據(jù)切線性質(zhì)可得AD＝CD，繼而得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，BD平分AC，根據(jù)垂徑定理證得：BE為圓的直徑，進(jìn)而可得CF⊥BC，繼而有AE⊥BC, 即AE是平行四邊形ABCD的邊BC上的高.

解：（1）如圖①所示，連接AC，AC為所求的高；

理由如下：∵BC是圓的直徑，

∴∠BAC＝90°

∴AC⊥AB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD

∴AC⊥CD

∴AC是平行四邊形ABCD的邊CD上的高；

（2）如圖②所示，連接BD交圓于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則CF⊥AD，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CF，則AE即為所求的高.

理由如下：∵AD、CD都與圓相切

∴AD＝CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，BD平分AC

∴BE是圓的直徑，

∴∠BCE＝90°

∴CF⊥BC

又∵AE∥CF

∴AE⊥BC，即AE是平行四邊形ABCD的邊BC上的高。