Question

已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，點O是AB中點，點P、Q分別從點A、C出發(fā)，沿AC、CB以每秒1個單位的速度運動，到達(dá)點C、B后停止．連接PQ、點D是PQ中點，連接CD并延長交AB于點E．
（1）試說明：△POQ是等腰直角三角形；
（2）設(shè)點P、Q運動的時間為t秒，試用含t的代數(shù)式來表示△CPQ的面積S，并求出S的最大值；
（3）如圖2，點P在運動過程中，連接EP、EQ，問四邊形PEQC是什么四邊形，并說明理由；
（4）求點D運動的路徑長（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CO．先由等腰直角三角形的性質(zhì)得出CO⊥AB，∠BCO=∠A=45°，CO=AO=AB，再利用SAS證明△AOP≌△COQ，則OP=OQ，∠AOP=∠COQ，然后證明∠POQ=∠AOC=90°；
（2）由于△CPQ是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式得出S=CQ×CP=-t²+2t，再利用配方法寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值；
（3）連接OD、OC．先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD=OD=PQ，根據(jù)等邊對等角得到∠DCO=∠DOC，由等角的余角相等得出∠CEO=∠DOE，則DE=DO=CD，又PD=DQ，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形PEQC是平行四邊形，又∠ACB=90°，由矩形的定義判定平行四邊形PEQC是矩形；
（4）由DO=DC可知：點D在線段OC的垂直平分線上，其運動路徑為CO垂直平分線與AC、BC交點間線段，則點D運動的路徑長=AB．
解答：（1）證明：如圖1，連接CO．
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，點O是AB中點，
∴CO⊥AB，∠BCO=∠A=45°，CO=AO=AB．
在△AOP和△COQ中，
，
∴△AOP≌△COQ（SAS），
∴OP=OQ，∠AOP=∠COQ，
∴∠POQ=∠COQ+∠COP=∠AOP+∠COP=∠AOC=90°，
∴△POQ是等腰直角三角形；

（2）解：∵AP=CQ=t，
∴CP=AB-AP=4-t，
∴S=CQ×CP=×t（4-t）=-t²+2t=-（t-2）²+2，
∴當(dāng)t=2時，S取得最大值，最大值S=2；

（3）解：四邊形PEQC是矩形．理由如下：
如圖2，連接OD、OC．
∵∠PCQ=∠POQ=90°，點D是PQ中點，
∴CD=PD=DQ=PQ，OD=PD=DQ=PQ，
∴CD=OD，
∴∠DCO=∠DOC，
∵∠CEO+∠DCO=90°，∠DOE+∠DOC=90°，
∴∠CEO=∠DOE，
∴DE=DO，
∴DE=CD，
∵PD=DQ，
∴四邊形PEQC是平行四邊形，
又∠ACB=90°，
∴四邊形PEQC是矩形；

（4）解：∵DO=DC，
∴點D在線段OC的垂直平分線上，
∴其運動路徑為CO的垂直平分線與AC、BC交點之間的線段，即為為Rt△ABC斜邊AB的中位線，
∴點D運動的路徑長=AB=2．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，點的運動軌跡等知識，綜合性較強，有一定難度．