Question

如圖所示，某校計(jì)劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)環(huán)境改造．已知△ABC的邊BC長(zhǎng)120米，高AD長(zhǎng)80米．學(xué)校計(jì)劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其中兩個(gè)頂點(diǎn)H、G分別在邊AB、AC上．現(xiàn)計(jì)劃在△AHG上種草，在△BHE、△GFC上都種花，在矩形EFGH上興建噴泉．當(dāng)FG長(zhǎng)為多少米時(shí)，種草的面積與種花的面積相等？

Answer 1

分析：易得△AHG∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比可得HG的代數(shù)式，進(jìn)而根據(jù)種草的面積與種花的面積相等，可得FG的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AK，HG的長(zhǎng)，利用直角三角形的面積公式可得△AHG的面積，進(jìn)而讓△ABC面積的一半減去△AHG的面積即為種花的面積．

解答：解：設(shè)FG=x米，則AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x，
BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，
∴

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）=

1

2

×

3

2

x•x，
解得x=40．
∴當(dāng)FG的長(zhǎng)為40米時(shí)，種草的面積和種花的面積相等．
∴AK=40，HG=-1.5x+120=60，
∴S_△AHG=

1

2

×40×60=1200平方米，
∴種花的面積

1

2

×

1

2

×120×80-1200=1200平方米．
答：當(dāng)FG為40米時(shí)，噴泉面積恰好等于銳角三角形ABC的一半，種花和種草的面積均為1200平方米．

點(diǎn)評(píng)：考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊等于對(duì)應(yīng)高的比．