已知△中,(如圖),點(diǎn)兩邊的距離相等,且

(1)先用尺規(guī)作出符合要求的點(diǎn)(保留作圖痕跡,不需要寫作法),然后判斷△的形狀,并說明理由;

(2)設(shè),,試用的代數(shù)式表示的周長和面積;

(3)設(shè)交于點(diǎn),試探索當(dāng)邊、的長度變化時(shí),的值是否發(fā)生變化,若不變,試求出這個(gè)不變的值,若變化,試說明理由.

 

【答案】

(1)依題意,點(diǎn)既在的平分線上,又在線段的垂直平分線上.

    如圖1,作的平分線,作線段的垂直平分線,的   

交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。

                        

        是等腰直角三角形.                   

理由如下:過點(diǎn)分別作,垂足為(如圖2).

        ∵平分,,垂足為,

又∵

.                                                     

,,,

, 從而.                                        

 

是等腰直角三角形.

(2)如圖2,在中,,,,

.                                                          

,,可得,

.                        

中,,,,

        ∴.   

.                         

所以的周長為:.                      

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2012082812344416733768/SYS201208281235382586309388_DA.files/image037.png">的面積=的面積的面積的面積

        ==

        =).                          

【或 .】

(2)【法1】過點(diǎn)分別作,垂足為(圖3).

        

              易得 .                          

               由  ①;

   ②                  

①+②,得 ,即 .             

, 即 .                        

【法2】(前面同法1)又  ,

              ∴

              ∴.                               

,即 .                          

 

【法3】過點(diǎn),垂足為(圖4).

         

            在中,                  

  ①;    ②                    

①+②,得 ,即 .                 

,即 .                             

【法4】過點(diǎn),交射線于點(diǎn)(如圖5)

      

易得 ,.             

,.                            

.                                                 

【法5】過點(diǎn)的平行線,交射線于點(diǎn) (見圖6),

      

,,                     

, 即 ,                                

所以 ,                                      

【法6】分別過點(diǎn)、分別作的平行線,交射線于點(diǎn),交射線于點(diǎn)(見圖7).

,                                          

,     

,                                                       

,.                                      

【解析】(1)利用點(diǎn)既在的平分線上,又在線段的垂直平分線上作圖;

(2)先求出AB的長,再求出AC+BC的長,這樣三角形ABC的周長就求出來,再利用的面積=的面積的面積的面積求出的面積;

(3)利用等邊代換求出結(jié)果。

 

練習(xí)冊系列答案
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已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā),以每秒一個(gè)單位長度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿CO向O點(diǎn)運(yùn)動.當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)運(yùn)精英家教網(wǎng)動到終點(diǎn)時(shí),兩個(gè)動點(diǎn)都停止運(yùn)動.
(1)求B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒;
①當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半;
②當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OAMN的面積最小,并求出最小面積;
③若另有一動點(diǎn)P,在點(diǎn)M、N運(yùn)動的同時(shí),也從點(diǎn)A出發(fā)沿AO運(yùn)動.在②的條件下,PM+PN的長度也剛好最小,求動點(diǎn)P的速度.

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(3)設(shè)CPAB交于點(diǎn)D,試探索當(dāng)邊AC、BC的長度變化時(shí),的值是否發(fā)生變化,若不變,試求出這個(gè)不變的值,若變化,試說明理由。

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