Question

【題目】如圖，已知AE、BD相交于點C，AC＝AD，BC＝BE，F(xiàn)、G、H分別是DC、CE、AB的中點．求證：

（1）HF＝HG；

（2）∠FHG＝∠DAC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接AF，BG．根據(jù)等腰三角形的三線合一得到直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行證明；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到FH=BH，則∠HFB=∠FBH，同理∠AGH=∠GAH，則∠D=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．從而證明結(jié)論．

證明：（1）連接AF，BG，

∵AC＝AD，BC＝BE，F(xiàn)、G分別是DC、CE的中點，

∴AF⊥BD，BG⊥AE．

在直角三角形AFB中，

∵H是斜邊AB中點，

∴FH＝AB．

同理得HG＝AB，

∴FH＝HG．

（2）∵FH＝BH，

∴∠HFB＝∠FBH；

∵∠AHF是△BHF的外角，

∴∠AHF＝∠HFB+∠FBH＝2∠BFH；

同理∠AGH＝∠GAH，∠BHG＝∠AGH+∠GAH＝2∠AGH，

∴∠ADB＝∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝∠BFH+∠AGH．

又∵∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠ACD，

＝180°﹣2∠ADB，

＝180°﹣2（∠BFH+∠AGH），

＝180°﹣2∠BFH﹣2∠AGH，

＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，

而根據(jù)平角的定義可得：∠FHG＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，

∴∠FHG＝∠DAC．