Question

如圖，AB和CD都是⊙O的直徑，E為OB的中點(diǎn)，若AB=4，AC=．
（1）求證：△OBC為正三角形；
（2）求的長度；
（3）求圖中陰影部分的面積．（面積結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，再根據(jù)AB=4，AC=，可得sinB=，則∠B=60°，即可得到△OBC為正三角形；
（2）直接根據(jù)扇形的面積公式：S=計(jì)算即可；
（3）過D作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連DB，則DF=OD•sin60°=2×=，而E為OB的中點(diǎn)，所以O(shè)E=1，得到S_△DOE=×OE×DF=×1×=，所以S_陰影部分=S_扇形ODB-S_△DOE，扇形的面積根據(jù)S=計(jì)算．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=4，AC=，
∴sinB==，
∴∠B=60°，
而OB=OC，
所以△OBC為正三角形；

（2）解：∵直徑AB=4，
∴OB=2，
又∵∠BOC=60°，
∴的長度==；

（3）解：過D作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連DB，如圖，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOD=60°，∠BOD=120°，
∴DF=OD•sin60°=2×=，而E為OB的中點(diǎn)，所以O(shè)E=1，
∴S_△DOE=×OE×DF=×1×=，
∴S_陰影部分=S_扇形ODB-S_△DOE=-=-≈3.32．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積公式：S=，其中n為扇形的圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑），或S=lR，l為扇形的弧長，R為半徑．同時(shí)也考查了三角函數(shù)的知識(shí)以及等邊三角形的判定、三角形的面積公式．