Question

（2008•烏蘭察布）兩個直角邊為6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如圖一所示的位置放置，點O與E重合．
（1）Rt△AOB固定不動，Rt△CED沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動，當(dāng)點E運(yùn)動到與點B重合時停止，設(shè)運(yùn)動x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重疊部分面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)Rt△CED以（1）中的速度和方向運(yùn)動，運(yùn)動時間x=2秒時，Rt△CED運(yùn)動到如圖二所示的位置，若拋物線y=x²+bx+c過點A，G，求拋物線的解析式；
（3）現(xiàn)有一動點P在（2）中的拋物線上運(yùn)動，試問點P在運(yùn)動過程中是否存在點P到x軸或y軸的距離為2的情況？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，得重疊部分是等腰直角三角形．根據(jù)運(yùn)動的路程=速度×時間=2x．再根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，即可進(jìn)一步求得等腰直角三角形的面積；
（2）只需求得點A和點G的坐標(biāo)．根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊的長即可寫出點A的坐標(biāo)，根據(jù)運(yùn)動的路程=速度×時間，得到OE=4，再進(jìn)一步根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得G（2，2），然后根據(jù)待定系數(shù)法代入求解；
（3）根據(jù)題意，應(yīng)考慮兩種情況．若點P到y(tǒng)軸的距離是2，即點的橫坐標(biāo)是±2；當(dāng)點P到x軸的距離是2，即點的縱坐標(biāo)是±2．
解答：解：（1）①由題意知重疊部分是等腰直角三角形，作GH⊥OE．
∴OE=2x，GH=x，
∵y=OE•GH=•2x•x=x²（0≤x≤3）

（2）A（6，6）
當(dāng)x=2時，OE=2×2=4．
∴OH=2，HG=2，
∴G（2，2）．

∴
∴y=x²-x+3．

（3）設(shè)P（m，n）．
當(dāng)點P到y(tǒng)軸的距離為2時，
有|m|=2，
∴|m|=2．當(dāng)m=2時，得n=2，
當(dāng)m=-2時，得n=6．
當(dāng)點P到x軸的距離為2時，有|n|=2．
∵y=x²-x+3
=（x-2）²+2＞0
∴n=2．當(dāng)n=2時，得m=2．
綜上所述，符合條件的點P有兩個，分別是P₁（2，2），P₂（-2，6）．
點評：能夠熟練根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算；能夠運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；點到y(tǒng)軸的距離即是該點的橫坐標(biāo)的絕對值，點到x軸的距離即是該點的縱坐標(biāo)的絕對值．