Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x2－7x＋12=0的兩根（OA＜OB），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似?

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；

（2）當(dāng)t=或 t=時，△APQ與△AOB相似.

【解析】

（1）根據(jù)題意解方程即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意在RT△AOB中，先求出AB，然后再把AP和AQ分別用t表示出來，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出t即可，應(yīng)注意分兩種情況討論.

（1）解方程x2-7x+12=0，即（x-3）（x-4）=0,解得x1=3，x2=4，

∵OA＜OB，

∴OA=3，OB=4．

∴A（0，3），B（4，0）；

（2）在RT△AOB中，OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t.

當(dāng)△APQ∽△AOB時，

即 ，

解得t=；

當(dāng)△APQ∽△ABO時，

即 ，

解得t=.

綜上所述：當(dāng)t=或 t=時，△APQ與△AOB相似.