Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩個(gè)點(diǎn)A（2m-6，0），B（4，0）分別在原點(diǎn)兩側(cè)，且A、B兩點(diǎn)間的距離小于7個(gè)單位長度．
（1）求m的取值范圍；
（2）C是AB的中點(diǎn)且為整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)），若D為整點(diǎn)，當(dāng)△BCD為等腰直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先由同一數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式得出AB=|2m-10|，再根據(jù)AB＜7及點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)分別列出不等式，求解即可；
（2）先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出C點(diǎn)坐標(biāo)為：（m-1，0），再根據(jù)C為整點(diǎn)得出m=2，BC=3，然后分三種情況對△BCD進(jìn)行討論，結(jié)合D為整點(diǎn)，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（2m-6，0），B（4，0），
∴AB=|2m-6-4|=|2m-10|．
∵A、B兩點(diǎn)間的距離小于7個(gè)單位長度，
∴|2m-10|＜7，
∴-7＜2m-10＜7，
∴

3

2

＜m＜

17

2

，
又∵點(diǎn)A（2m-6，0），B（4，0）分別在原點(diǎn)兩側(cè)，
∴2m-6＜0，
∴m＜3，
∴

3

2

＜m＜3；

（2）∵C是AB的中點(diǎn)且為整點(diǎn)，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

2m-6+4

2

=m-1，且m-1為整數(shù)，
∴m為整數(shù)，
由（1）知

3

2

＜m＜3，
∴m=2，
∴C（1，0），BC=4-1=3．
當(dāng)△BCD為等腰直角三角形時(shí)，分三種情況：
①如果∠DCB=90°，DC=BC，則D₁（1，3），D₂（1，-3）；
②如果∠DBC=90°，DB=CB，則D₃（4，3），D₄（4，-3）；
③如果∠CDB=90°，CD=BD，則D在BC的垂直平分線上，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：

4+1

2

=

5

2

，不是整數(shù)，不合題意，舍去．
綜上，可知所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D₁（1，3），D₂（1，-3），D₃（4，3），D₂（4，-3）．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，同一數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，難度中等，其中（2）對△BCD分三種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．