Question

如圖，拋物線y=-x²-x+交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，頂點為D．
（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；
（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形AEBC，求點E的坐標(biāo)，并判四邊形AEBC的形狀，并說明理由；
（3）在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD周長最��？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令x=0以及y=0求出A、B、C三點的坐標(biāo)．
（2）依題意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐標(biāo)易求出點E的坐標(biāo)，又因為四邊形AEBC是平行四邊形且∠ACB=90°可得四邊形AEBC是矩形．
（3）作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′D與直線BC交于點P．則可得點P是使△PAD周長最小的點，然后求出直線A′D，直線BC的函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）y=-x²-x+，
令x=0，得y=，
令y=0，
即-x²-x+=0，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（1，0），C（0，）；

（2）如圖1，過點E作EF⊥AB于F，
∵C（0，），
∴EF=，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-），
四邊形AEBC是矩形．
理由：四邊形AEBC是平行四邊形，且∠ACB=90°，

（3）存在．
D（-1，）
如圖2，作出點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′D與直線BC交于點P．
則點P是使△PAD周長最小的點．
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=，
∴A′F=2，
∴求得A′（3，2）
過A′、D的直線y=x+，
過B、C的直線y=-x+，
將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得出：
，
解得：，
故兩直線的交點P（-，）．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式以及利用軸對稱求線段最小值，利用軸對稱得出P點位置是解題關(guān)鍵．