如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點(diǎn)A,C始終在
軸的正半軸上,B,D在第一象限內(nèi),點(diǎn)B在直線OD上方,OC=CD,OD=2,M為OD的中點(diǎn),AB與OD相交于E,當(dāng)點(diǎn)B位置變化時(shí),Rt△OAB的面積恒為
.試解決下列問(wèn)題:
(1)填空:點(diǎn)D坐標(biāo)為 ;
(2)設(shè)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為,請(qǐng)把BD長(zhǎng)表示成關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式,并化簡(jiǎn);
(3)等式BO=BD能否成立?為什么?
(4)設(shè)CM的延長(zhǎng)線與AB相交于F,當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí),判斷四邊形BDCF的形狀(無(wú)需證明).
(1);
(2)
①
②
(3)若OB=BD,則
由①得
得
∴△,∴此方程無(wú)解
∴OB≠BD
(4)如果△BDE為直角三角形,
①當(dāng)∠EBD=90º時(shí),此時(shí)四邊形BDCF為直角梯形.
②當(dāng)∠EDB=90º時(shí),此時(shí)四邊形BDCF為菱形
【解析】(1)在Rt△OCD中,根據(jù)勾股定理易求;
(2)根據(jù)Rt△OAB的面積是可求出B點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2012111921441959763477/SYS201211192145366913476327_DA.files/image014.png">,所以把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得BD長(zhǎng),即可表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)假設(shè)OB=BD,在Rt△OAB中,用t把OB表示出來(lái),根據(jù)題(2)中用t表示的BD.兩者相等,可得一二次函數(shù)表達(dá)式,用根的判別式判斷是否有解.
(4)兩種情況,先假設(shè)∠EBD=90°時(shí)(如圖2),此時(shí)F、E、M三點(diǎn)重合,根據(jù)已知條件此時(shí)四邊形BDCF為直角梯形,然后假設(shè)∠EDB=90°時(shí)(如圖3),根據(jù)已知條件,此時(shí)四邊形BDCF為平行四邊形,在Rt△OCD中,OB2=OD2+BD2,用t把各線段表示出來(lái)代入,可求出,即此時(shí)四邊形BDCF為菱形.
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