Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點(diǎn)A，C始終在軸的正半軸上，B，D在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在直線OD上方，OC＝CD，OD＝2，M為OD的中點(diǎn)，AB與OD相交于E，當(dāng)點(diǎn)B位置變化時(shí)，Rt△OAB的面積恒為.試解決下列問(wèn)題：

（1）填空：點(diǎn)D坐標(biāo)為      ；

（2）設(shè)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為，請(qǐng)把BD長(zhǎng)表示成關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；

（3）等式BO＝BD能否成立？為什么？

（4）設(shè)CM的延長(zhǎng)線與AB相交于F，當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，判斷四邊形BDCF的形狀（無(wú)需證明）．

 

Answer 1

【答案】

（1）；                       

（2）

   ① 

   

  ②       

   （3）若OB=BD，則

由①得     

得

∴△，∴此方程無(wú)解

∴OB≠BD                          

   （4）如果△BDE為直角三角形，

①當(dāng)∠EBD=90º時(shí)，此時(shí)四邊形BDCF為直角梯形．    

②當(dāng)∠EDB=90º時(shí)，此時(shí)四邊形BDCF為菱形          

【解析】（1）在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理易求;

（2）根據(jù)Rt△OAB的面積是可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2012111921441959763477/SYS201211192145366913476327_DA.files/image014.png">，所以把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得BD長(zhǎng)，即可表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）假設(shè)OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出來(lái)，根據(jù)題（2）中用t表示的BD．兩者相等，可得一二次函數(shù)表達(dá)式，用根的判別式判斷是否有解．

（4）兩種情況，先假設(shè)∠EBD=90°時(shí)（如圖2），此時(shí)F、E、M三點(diǎn)重合，根據(jù)已知條件此時(shí)四邊形BDCF為直角梯形，然后假設(shè)∠EDB=90°時(shí)（如圖3），根據(jù)已知條件，此時(shí)四邊形BDCF為平行四邊形，在Rt△OCD中，OB²=OD²+BD²，用t把各線段表示出來(lái)代入，可求出，即此時(shí)四邊形BDCF為菱形．