Question

(2006，鹽城非課改)已知：如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連結(jié)AE并延長，交BD于點F，直線CF交直線AB于點G．

(1)求證：點F是BD中點；

(2)求證：CG是⊙O的切線；

(3)若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF， ∴∵HE=EC，∴BF=FD． (2)證明：如圖，連結(jié)CB、OC． ∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵F是BD中點， ∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO． ∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切線． (3)解：由FC=FB=FE得∠FCE=∠FEC， 可證得FA=FG、且AB=BC． 由切割線定理得．① 在Rt△BGF中，由勾股定理得．② 由①、②得， 解之得，(舍去)， ∴， ∴⊙O的半徑為．