Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m為實(shí)數(shù)）
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若m是整數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，把拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1向下平移3個(gè)單位長度，求平移后的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m-1≠0且△=（m-2）²-4（m-1）×（-1）=m²＞0，然后解兩個(gè)不等式可得m≠1且m≠0；
（2）利用求根公式得到x=

-(m-2)±m(xù)

2(m-1)

，則x₁=-1，x₂=

1

m-1

，由于m為m≠1且m≠0的整數(shù)，且方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則m=2，則拋物線變形為y=x²-1，
根據(jù)拋物線的幾何變換，把拋物線y=x²-1向下平移3個(gè)單位長度得y=x²-1-3．

解答：解：（1）根據(jù)題意得m-1≠0且△=（m-2）²-4（m-1）×（-1）=m²＞0，
解得m≠1且m≠0，
即m的取值范圍為m≠1且m≠0；
（2）解一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0得x=

-(m-2)±m(xù)

2(m-1)

，
∴x₁=-1，x₂=

1

m-1

，
∵m為m≠1且m≠0的整數(shù)，且方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，
∴m=2，
∴拋物線為y=x²-1，
把拋物線y=x²-1向下平移3個(gè)單位長度得y=x²-1-3，即y=x²-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義以及拋物線的幾何變換．