Question

如圖，已知：直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C（1，0）三點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點D的坐標為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P，使ΔABO與ΔADP相似，求出點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）

∵拋物線經過A、B、C三點，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入得方程組

        解得：

∴拋物線的解析式為       

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，

若△ABO∽△AP1D，則

∴DP1=AD=4  ,          ∴P1

若△ABO∽△ADP2 ，過點P2作P2 M⊥x軸于M，AD=4,

∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M，即點M與點C重合∴P2（1，2）

（3）如圖設點E ，則

①當P1(-1,4)時，

 

 

 

 

 

 

 

 

S四邊形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE =  

  ∴    ∴

∵點E在x軸下方  ∴

代入得： ,即

∵△=(-4)2-4×7=-12<0     ∴此方程無解

②當P2（1，2）時，S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =     

 ∴    ∴

∵點E在x軸下方  ∴  代入得：

即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0

∴此方程無解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E。