Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交點(diǎn)C，拋物線過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接BE，與直線AC相交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求sin∠EBA的值．

（3）點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在（2）的條件下，若點(diǎn)E位于對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以M，N，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）,（2）或 ,（3）存在；（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）

【解析】

（1）先由直線解析式求出點(diǎn)A、C坐標(biāo)，再將所求坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求解可得；

（2）先求出B（1，0），設(shè)E（t，），作EH⊥x軸、FG⊥x軸，知EH∥FG，由EF=BF知，結(jié)合BH=1-t可得，據(jù)此知F（，），從而得出方程，解方程得出點(diǎn)E坐標(biāo)，再進(jìn)一步求解可得；

（3）分EB為平行四邊形的邊和EB為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，其中EB為平行四邊形的邊時(shí)再分點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況分別求解可得．

解：（1）在y＝2x+6中，當(dāng)x＝0時(shí)y＝6，當(dāng)y＝0時(shí)x＝﹣3，

∴C（0，6）、A（﹣3，0），

∵拋物線的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，

，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，

解得∴B（1，0），

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，∴E（t，），

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，則EH∥FG，

，

，

，

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，

直線AC的解析式為y2x6，

，

，

∴t2+3t+2＝0，解得

當(dāng)t＝﹣2時(shí)，

當(dāng)t＝﹣1時(shí)，

∴

當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，6）時(shí)，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，

，

；

同理，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，8）時(shí)，

，

∴sin∠EBA的值為或；

（3）存在，且M的坐標(biāo)為（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．

∵點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上，∴xN＝﹣1，

①當(dāng)EB為平行四邊形的邊時(shí)，分兩種情況：

（Ⅰ）點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，BN為對(duì)角線，

∵E，B（1，0），

∴由平移的性質(zhì)得xM＝＝2，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝

∴M（2，﹣10）；

（Ⅱ）點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，BM為對(duì)角線，

∵xN＝﹣1，B（1，0），E（﹣2，6），

∴由平移的性質(zhì)得xM＝＝﹣4，

當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝

∴M（﹣4，﹣10）；

②當(dāng)EB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵B（1，0），E，xN＝，

∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：1+（﹣2）＝﹣1+xM，

∴xM＝0，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，

∴M（0，6）；

綜上所述，M的坐標(biāo)為（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．