Question

已知拋物線y=x²+kx-k²（k為常數，且k＞0）．
（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）設拋物線與x軸交于M（x₁，0），N（x₂，0）兩點，且，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程x²+kx-k²=0的根的判別式的符號來判定此拋物線與x軸交點的個數；
（2）根據根與系數的關系列出關于k的方程，通過解方程即可求得k的值．
解答：（1）令y=0，則x²+kx-k²=0，
所以△=k²-4×1×（-）=k²+3．
因為k²是非負數，所以無論k取何值，k²+3總是大于零，即k²+3＞0，
所以，關于x的一元二次方程x²+kx-k²=0總有兩個不同的實數根，即拋物線y=x²+kx-k²（k為常數，且k＞0）．與x軸總有兩個不同的交點；

（2）根據題意，知
x₁+x₂=-k，x₁•x₂=-k²，
則===，即=，
解得，k=2，即k的值是2．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數．
△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；
△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．