Question

如圖，在平面坐標系中，點A、點B分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=OB，另有兩點C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大于0）；

(1)連接OD、CD，求證：∠ODC=45⁰；
(2)連接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度數；
(3)若a=b，在線段OA上有一點E，且AE=3，CE=5，AC=7，求⊿OCA 的面積。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）135°；（3）.

試題分析：（1）過C點、D點向x軸、y軸作垂線，運用勾股定理計算，結合全等可證；
（2）連接DA，證△OCB≌△ODA（SAS），可得AD=CB=1，而OC=OD=2，故CD=2，根據勾股定理逆定理可證∠ADC=90°，易得∠OCB=∠ODA=135°；
（3）作CF⊥OA，F為垂足，有CF²=CE²-EF²，CF²=CA²-AF²=CA²-（AE+EF）²，設EF=x，列出關于x的方程，求得x=，再在Rt△CEF中，根據勾股定理求得CF=，然后由三角形的面積公式即可求解．
試題解析：（1）證明：過C點、D點向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M、N．

∵C（a，b），D（b，-a）（a、b均大于0），
∴OM=ON=a，CM=DN=b，
∴△OCM≌△ODN（SAS），
∴∠COM=∠DON．
∵∠DON+∠MOD=90°，
∴∠COM+∠MOD=90°，
∵OC=OD=，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC=45°；
（2）連接DA．

在△OCB與△ODA中，
，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA．
∵OC=OD=2，
∴CD=2．
∵AD²+CD²=1+8=9，AC²=9，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；
（3）作CF⊥OA，F為垂足，由勾股定理得

CF²=CE²-EF²，CF²=CA²-AF²=CA²-（AE+EF）²，
設EF=x，可得5²-x²=7²-（3+x）²，
解得x=．
在Rt△CEF中，得CF=，
∴OF=CF=，
∴△OCA的面積=•OA•CF==.
考點: 1.勾股定理；2.全等三角形的判定與性質．