Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2 cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動.當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點(diǎn)P也隨之停止移動．DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最�。咳舸嬖�，求出y的最小值；若不存在，說明理由．

（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學(xué)們做題使用）

 

Answer 1

【答案】

（1）2（2）3（3）1

【解析】

試題分析：（1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC.

∴CE = CQ.

由題意知：CE = t，BP =2 t，           

∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .

則AP = 10－2 t.

∴10－2 t = 8－t.

解得：t = 2.

答：當(dāng)t =" 2" s時，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上.     

（2）過P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .   ∴PM = .

∵BC =" 6" cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －

= = .

∵，∴拋物線開口向上.

∴當(dāng)t = 3時，y_最小=.

答：當(dāng)t = 3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm².    8分

（3）假設(shè)存在某一時刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.

過P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴ .  ∴ . 

∵    ∴

解得：t= 1.

答：當(dāng)t = 1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.       12分

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實際意義準(zhǔn)確的求出解析式，并會根據(jù)圖示得出所需要的信息．同時注意要根據(jù)實際意義準(zhǔn)確的找到不等關(guān)系，利用不等式組求解．