Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，E為BC上的一點(diǎn)，且EC＝BC．請(qǐng)說(shuō)明∠EFA＝90°．

Answer 1

答案：
解析：

分析：要想說(shuō)明∠EFA＝90°，只要說(shuō)明AF2＋EF2＝AE2即可，為了方便地表示線段的長(zhǎng)度，可以設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，然后再表示出其他線段的長(zhǎng)度． 　　解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a，則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a． 　　在Rt△ABE中，由勾股定理，得 　　AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2． 　　在Rt△ADF中，由勾股定理，得 　　AF2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2． 　　在Rt△ECF中，由勾股定理，得 　　EF2＝EC2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2． 　　在△AFE中，AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2． 　　又因?yàn)?/FONT>AE2＝25a2， 　　所以AF2＋EF2＝AE2． 　　由勾股定理的逆定理可知：△AFE為直角三角形，且AE為最大邊， 　　所以∠EFA＝90°． 　　點(diǎn)評(píng)：本題在△ABE、△ADF、△ECF中運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算AE2、AF2、EF2的值，而在△AFE中利用AF2＋EF2＝AE2來(lái)判定△AFE是直角三角形，則運(yùn)用的是勾股定理的逆定理．為了簡(jiǎn)化計(jì)算，無(wú)論是運(yùn)用勾股定理還是其逆定理，都不必求出線段的長(zhǎng)，只需求出線段長(zhǎng)的平方即可．