Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC外接圓，直徑AB=12，∠A=2∠B．

（1）∠A=　 　°，∠B=　 　°；

（2）求BC的長（結果用根號表示）；

（3）連接OC并延長到點P，使CP=OC，連接PA，畫出圖形，求證：PA是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）∠A=60°，∠B=30°；（2）6；（3）見解析

【解析】分析：(1)、不難看出∠C應該是直角，∠A=2∠B，那么這兩個角的度數(shù)就容易求得了；(2)、直角三角形ABC中，有斜邊AB的長，有三角的度數(shù)，BC的值就能求出了；(3)、此題實際上是證明PA⊥AB，由圖我們不難得出△AOC是等邊三角形，那么就容易證得△ABC≌△OPA，這樣就能求出PA⊥AB了．

詳解：（1）∵∠C=90°，∠A=2∠B， ∴∠A=60°，∠B=30°；

（2）∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°， 又∵∠B=30°， ∴AC=AB=65．

∴BC==6；

（3）如圖，∵OP=2OC=AB， ∵∠BAC=60°，OA=OC， ∴△OAC為等邊三角形．

∴∠AOC=60°． 在△ABC和△OPA中，∵AB=OP，∠BAC=∠POA=60°，AC=OA，

∴△ABC≌△OPA． ∴∠OAP=∠ACB=90°． ∴PA是⊙O的切線．