Question

（2012•天津）“三等分任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題．已知一個(gè)角∠MAN，設(shè)∠α=

1

3

∠MAN．
（Ⅰ）當(dāng)∠MAN=69°時(shí)，∠α的大小為

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（度）；
（Ⅱ）如圖，將∠MAN放置在每個(gè)小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點(diǎn)B，且AB=2.5cm．現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請(qǐng)你在圖中作出∠α，并簡要說明做法（不要求證明）

如圖，讓直尺有刻度一邊過點(diǎn)A，設(shè)該邊與過點(diǎn)B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)B水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，保持直尺有刻度的一邊過點(diǎn)A，調(diào)整點(diǎn)C、D的位置，使CD=5cm，畫射線AD，此時(shí)∠MAD即為所求的∠α．

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Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，用69°乘以

1

3

，計(jì)算即可得解；
（Ⅱ）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，并且使斜邊所在的直線過點(diǎn)A，且斜邊的長度為5，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得斜邊上的中線等于AB的長度，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可知，∠BAD=2∠BDC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BDC=∠MAD，從而得到∠MAD=

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3

∠MAN．

解答：解：（Ⅰ）

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3

×69°=23°；

（Ⅱ）如圖，讓直尺有刻度一邊過點(diǎn)A，設(shè)該邊與過點(diǎn)B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)B水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，保持直尺有刻度的一邊過點(diǎn)A，調(diào)整點(diǎn)C、D的位置，使CD=5cm，畫射線AD，此時(shí)∠MAD即為所求的∠α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，主要利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，使作出的直角三角形斜邊上的中線恰好把三角形分成兩個(gè)等腰三角形是解題的關(guān)鍵．