如圖,已知:正方形ABCD中,AB=8,點(diǎn)O為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑的⊙O交邊AD于點(diǎn)E(不與點(diǎn)A、D重合),EF⊥OE交邊CD于點(diǎn)F.設(shè)BO=x,AE=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中,△EFD的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果發(fā)生變化,請(qǐng)用x的代數(shù)式表示△EFD的周長(zhǎng);如果不變化,請(qǐng)求出△EFD的周長(zhǎng);
(3)以點(diǎn)A為圓心,OA為半徑作圓,在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中,討論⊙O與⊙A的位置關(guān)系,并寫出相應(yīng)的x的取值范圍.
【答案】分析:(1)OB、OE均是⊙O的半徑,得出OB=OE,然后在RT△AOE中,運(yùn)用勾股定理可得出y與x的關(guān)系式,結(jié)合二次根式有意義的條件,可得出x的范圍;
(2)先判斷△AOE∽△DEF,然后根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比,可得出△DEF周長(zhǎng)的表達(dá)式,進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得出答案;
(3)設(shè)⊙O的半徑R1=x,則⊙A的半徑R2=8-x,圓心距d=OA=8-x,分三種情況討論,依此解出x的范圍即可.
解答:解:(1)∵以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑的⊙O交邊AD于點(diǎn)E,
∴OB=OE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,
∴AO2+AE2=OE2,即(8-x)2+y2=x2
∵y>0,
∴y=4(4<x<8);

(2)△EFD的周長(zhǎng)不變.理由如下:
∵EF⊥OE,
∴∠AEO+∠DEF=90°,
∵∠D=∠A=90°,
∴∠AEO+∠AOE=90°,
∴∠DEF=∠AOE,
∴△AOE∽△DEF,
=,即=
∴C△DEF====16;

(3)設(shè)⊙O的半徑R1=x,則⊙A的半徑R2=8-x,圓心距d=OA=8-x,
∵4<x<8,
∴R1>R2
因?yàn)辄c(diǎn)A始終在⊙O內(nèi),所以外離和外切都不可能;
①當(dāng)⊙O與⊙A相交時(shí),R1-R2<d<R1+R2,即x-8+x<8-x<x+8-x,
解得:0<x<,
故可得此時(shí):4<x<;
②當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)切時(shí),d=R1-R2,即8-x=x-8+x,
解得:x=;
③當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)含時(shí),0<d<R1-R2,即0<8-x<x-8+x,
解得:<x<8.
點(diǎn)評(píng):此題屬于圓的綜合題目,涉及了圓與圓的位置關(guān)系判斷、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),整體難度較大,其實(shí)第二問和第三問是獨(dú)立的,分別考查不同的知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,已知在正方形ABCD中,P為BC上的一點(diǎn),E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AP過點(diǎn)P作PF⊥精英家教網(wǎng)AP,與∠DCE的平分線CF,相交于點(diǎn)F,連接AF,與邊CD相交于點(diǎn)G,連接PG.
(1)求證:①∠PAB=∠FPC;②AP=FP;
(2)試判斷PB、DG、PC,這三條線段存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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18、如圖,已知在正方形ABCD中,P是BC上的一點(diǎn),且AP=DP.求證:P是BC中點(diǎn).

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(2013•桂林模擬)如圖,已知,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以BC為對(duì)角線作第一個(gè)正方形BECO1,再以BE邊為對(duì)角線作第二個(gè)正方形EFBO2,如此作下去,…則所作的第n正方形的面積Sn=
1
2n
1
2n

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(2013•倉山區(qū)模擬)如圖,已知在正方形ABCD網(wǎng)格中,每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,E是邊DC上的一個(gè)網(wǎng)格的格點(diǎn).
(1)
DE
EB
的值是
1
5
1
5
;
(2)按要求畫圖:在BC邊長(zhǎng)找出格點(diǎn)F,連接AF,使AF⊥BE;
(3)在(2)的條件下,連接EF,求cos∠AFE的值.(結(jié)果保留根式)

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(2010•鄭州模擬)如圖,已知在正方形ABCD中,EF分別是AB,BC上的點(diǎn),若有AE+CF=EF,請(qǐng)你猜想∠EDF的度數(shù),并說明理由.

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