Question

如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點E，點D是BC邊的中點，連接ED．
（1）試說明：ED是⊙O的切線；
（2）若⊙O 直徑為6，線段BC長為8，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）可求得∠DEO=90°，即可得到DE是⊙O的切線；
（2）根據勾股定理求出AB，以及利用三角形面積求出BE，進而得出AE的長．

解答：解：（1）證明：連接BE，EO；
∵AB為⊙O直徑．
∴∠AEB=90°．
∴△CEB為直角三角形．
∵D為BC中點；
∴DC=BD=ED．
∴∠DEB=∠EBD．
∵EO=OB；
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB+∠DEB=∠OBE+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠DEO=90°．
∴DE與⊙O相切于點E．

（2）解：∵BE⊥AC，
∴BE×AC=AB×BC，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴BE=4.8，
∴AE=

AB 2-BE2

=

18

5

．

點評：此題主要考查了切線的判定方法以及勾股定理和三角形面積求法應用，根據已知得出BE的長是解題關鍵．