Question

如圖(1)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與M、C重合)，以AB為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．

(1)求證：OF∥BE；

(2)設(shè)BP＝x，AF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)延長(zhǎng)DC、FP交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)交直線DC與H(圖2)，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使△EFO∽△EHG(E、F、O與E、H、G為對(duì)應(yīng)點(diǎn))，如果存在，試求(2)中x和y的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接OE 　　FE、FA是⊙O的兩條切線 　　∴∠FAO＝∠FEO＝90° 　　FO＝FO，OA＝EO 　　∴Rt△FAO≌Rt△FEO 　　∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE 　　∴∠AOF＝∠ABE 　　∴OF∥BE　4分 　　(2)過(guò)F作FQ⊥BC于Q 　　∴PQ＝BP－BQ＝x－y 　　PF＝EF＋EP＝FA＋BP＝x＋y 　　∵在Rt△PFQ中 　　∴＋ 　　∴化簡(jiǎn)得，(1＜x＜2)　3分 　　(3)存在這樣的P點(diǎn) 　　∵∠EOF＝∠AOF 　　∴∠EHG＝∠EOA＝2∠EOF 　　當(dāng)∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF時(shí) 　　即∠EOF＝30°時(shí)，Rt△EFO∽Rt△EHG 　　此時(shí)Rt△AFO中，y＝AF＝OA·tan30°＝ 　　 　　∴當(dāng)時(shí)，△EFO∽△EHG　3分