Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)A、B、C 作⊙P．

（1）求b、c的值；

（2）求證：線段AB是⊙P的直徑；

（3）連接AC，AD，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△CDA～△CPQ，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析；（3）Q1（-，-），Q2（，）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的系數(shù)b，c；

（2）先求出點(diǎn)C（0，2），再根據(jù)A（4，0）、B（-1，0），求出AC2，BC2，AB2，用勾股定理逆定理說(shuō)明△ABC是直角三角形即可；

（3）先求出線段AC，AD，CD，CP，根據(jù)三角形相似得到比例式，再設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)建立方程求解．

試題解析：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（-1，0），

∴，

∴

（2）由（1）可知拋物線的解析式為：y=-x2+x+2，C（0，2），

∵A（4，0）、B（-1，0），

∴BC2=OB2+OC2=1+4=5，AC2=OA2+OC2=16+4=20，AB2=25，

∴BC2+AC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴線段AB是⊙P的直徑；

（3）由（1）可知拋物線的解析式為：y=-x2+x+2，

∴D（，），

∵A（4，0），C（0，2），

∴AC=2，AD=，CD=，

∵P（，0），

∴CP=，

∵△CDA∽△CPQ，

∴

∴，

∴PQ=，CQ=，

設(shè)點(diǎn)Q（m，n），

∴PQ==，

CQ==，

∴或，

∴Q1（-，-），Q2（，）．