Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．

（1）求OA、OC的長；

（2）求證：DF為⊙O′的切線；

（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么直線BC

上存不存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角

形？如果不存在，說明理由；如果存在，直接寫出P點

的坐標．

 

Answer 1

（1）解：在矩形OABC中，設OC=x，則OA=x+2，

∴x（x+2）=15，

∴x₁=3，x₂=﹣5，

∴x₂=﹣5（不合題意，舍去），

∴OC=3，OA=5；

（2）證明：如圖1，連接O′D，

在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=，

在△OCE和△ABE中，

，

∴△0CE≌△ABE（SAS），

∴EA=EO，

∴∠1=∠2；

∵在⊙O′中，O′O=O′D，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴O′D∥AE；

∵DF⊥AE，

∴DF⊥O′D，

∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑，

∴DF為⊙O′切線；

（3）解：存在．

其坐標為（1，3）或（9，3）或（4，3）或（﹣4，3）．