Question

【題目】如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，在地面上，支架是底邊為的等腰直角三角形，，擺動(dòng)臂可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，．

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中

①當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求的長，

②當(dāng)、、三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求的長．

（2）若擺動(dòng)臂順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的位置由外的點(diǎn)轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)處，如圖2，此時(shí)，，求的長．

（3）若連接（2）中的，將（2）中的形狀和大小保持不變，把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、隨著繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)， 的面積是否發(fā)生變化，若不變，請直接寫出的面積；若變化，的面積是否存在最大與最小?若存在，請直接寫出面積的最大值與最小值，（溫馨提示）

Answer 1

【答案】（1）①或；②長為或；（2）；（3）的面積會(huì)發(fā)生變化；存在，最大值為：，最小值為：

【解析】

（1）①分兩種情形分別求解即可；
②顯然不能為直角；當(dāng)為直角時(shí)，根據(jù)計(jì)算即可；當(dāng)為直角時(shí)，根據(jù)計(jì)算即可；

（2）連接，，證得為等腰直角三角形，根據(jù)SAS可證得，根據(jù)條件可求得，根據(jù)勾股定理求得，即可求得答案；

（3）根據(jù)三角形中位線定理，可證得是等腰直角三角形，求得，當(dāng)取最大時(shí)，面積最大，當(dāng)取最小時(shí)，面積最小，即可求得答案．

（1）①，

或；

②顯然不能為直角；

當(dāng)為直角時(shí)，，

即，

解得：；

當(dāng)為直角時(shí)，，

即，

；

綜上：長為或；

（2）如圖，連接，，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：為等腰直角三角形，

∴，，

，，，

，

，

在和中，

，

，

，

又∵，

，

，

；

（3）發(fā)生變化，存在最大值和最小值，

理由：如圖，

點(diǎn)P，M分別是，的中點(diǎn)，

，，

點(diǎn)N，P分別是，的中點(diǎn)，

，，

，

，

是等腰三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形；

∴

，

當(dāng)取最大時(shí)，面積最大，

∴

，

當(dāng)取最小時(shí)，面積最小，

∴

故：的面積發(fā)生變化，存在最大值和最小值，最大值為：，最小值為：．