已知點(diǎn)A、B、C是半徑長為2的半圓O上的三個(gè)點(diǎn),其中點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)(如圖),聯(lián)結(jié)AB、AC,點(diǎn)D、E分別在弦AB、AC上,且滿足AD=CE.
(1)求證:OD=OE;
(2)聯(lián)結(jié)BC,當(dāng)BC=2時(shí),求∠DOE的度數(shù);
(3)若∠BAC=120°,當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形ADOE的面積是否變化?若變化,請簡述理由;若不變化,請求出四邊形ADOE的面積.

【答案】分析:(1)先證出△AOB≌△AOC,∠CAO=∠ABO,再根據(jù)BD=AE,證出△BOD≌△AOE,即可得出OD=OE;
(2)設(shè)OA和BC交于M,得出∠AOB=∠AOC,∠BOD=∠AOE,∠AOD=∠COE,則∠DOE=∠BOC,∠AOC=∠BOC,再根據(jù)AB=AC,得出OA⊥BC,CM=BC=,最后根據(jù)sin∠COM==,得出∠COM=45°,∠BOC=90°,∠DOE=∠BOC=45°;
(3)先證出S△AOB=S△AOC,S△BOD=S△AOE,S△AOB-S△BOD=S△AOC-S△AOE,S△AOD=S△COE,得出S△AOE+S△AOD=S△BOD+S△COE,S四邊形ADOE=S四邊形ABOC,即可證出當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形ADOE的面積沒有變化,再根據(jù)∠ABC=120°,得出∠OAB=∠OAC=60°,ABOC是菱形,再求出AM=1,BC=2,得出S菱形ABOC=2,最后根據(jù)S四邊形ADOE=S四邊形ABOC即可得出答案.
解答:解:(1)∵A是弧BC的中點(diǎn),
∴AB=AC,
連接OB、OA、OC,
∵在△AOB和△AOC中,
,
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠CAO=∠ABO,
∵AD=CE,
∴AB-AD=AC-CE,
即BD=AE,
∵在△BOD和△AOE中,

∴△BOD≌△AOE(SAS),
∴OD=OE;

(2)設(shè)OA和BC交于M,
∵△AOB≌△AOC,
∴∠AOB=∠AOC,
∵△BOD≌△AOE,
∴∠BOD=∠AOE,
∴∠AOD=∠COE,
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=∠BOC,
∠AOC=∠AOE+∠COE=∠BOC,
∵AB=AC,
∴OA⊥BC,CM=BC=,
∴sin∠COM==
∴∠COM=45°,
∴∠BOC=90°,
∴∠DOE=∠BOC=45°;

(3)∵△AOB≌△AOC,
∴S△AOB=S△AOC
∵△BOD≌△AOE,
∴S△BOD=S△AOE
∴S△AOB-S△BOD=S△AOC-S△AOE,
∴S△AOD=S△COE,
∴S△AOE+S△AOD=S△BOD+S△COE
∴S四邊形ADOE=S四邊形ABOC,
∴當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形ADOE的面積沒有變化,
∵∠ABC=120°,
∴∠OAB=∠OAC=60°,
∴ABOC是菱形,
∴AM=AO=1
CM===,
∴BC=2,
∴S菱形ABOC=×2×2=2,
∴S四邊形ADOE=S四邊形ABOC=
點(diǎn)評:此題考查了圓的綜合,用到的知識點(diǎn)是垂徑定理、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等,關(guān)鍵是綜合應(yīng)用有關(guān)知識,列出算式.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)作直線AC,過點(diǎn)C作射線CE⊥AC于C,在射線CE上有一點(diǎn)M(5,2),求直線AC的解析式;
(3)在(2)的條件下,坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q和點(diǎn)P(點(diǎn)P在直線AC上),使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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  1. A.
    3
  2. B.
    -3
  3. C.
    (0,3)
  4. D.
    (-3,0)

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已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,它到原點(diǎn)距離是3個(gè)單位長,則A點(diǎn)坐標(biāo)為(  )
A.3B.-3C.(0,3)D.(-3,0)

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