Question

問題情境：
學生生物小組有一塊長30m，寬20m的矩形ABCD試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道如圖1，要使種植面積為504m²．

問題探究：
（1）如圖1，小道的寬應設計為多少m？
（2）若設計者將圖1中縱向小道變成如圖2所示的一條與橫向小道等寬的小道，請你說明兩小道重疊部分四邊形EFGO是什么特殊的四邊形？此時種植面積______（填變化或不變）
（3）若設計者將圖1中小道邊交叉點O落在矩形ABCD的對角線BD上，并建立如圖3所示的直角坐標系，且滿足OM=ON，請你求出點A的坐標及過點C的反比例函數的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用把2條道路平移到矩形地塊的一邊，可得種植面積的形狀為一個矩形，根據種植面積為504m²列出方程求解即可；
（2）根據平行四邊形以及菱形的判定得出即可，利用縱向小道的底邊變大，得出種植面積變化；
（3）利用平行線分線段成比例定理得出=，進而求出A點坐標即可，再利用A點坐標，進而得出C點坐標，即可得出答案．
解答：（1）解：設小道寬為x，
則種植面積（30-x）（20-x）=504，
化簡得：x²-50x+96=0，即（x-2）（x-48）=0，
解得：x₁=2，x₂=48（48＞20，故舍去），
答：小道的寬為2米；

（2）兩小道重疊部分四邊形EFGO是菱形，
證明：如圖2，∵四邊形EFGO是用等寬的小道交叉重疊地放在一起而組成的圖形，
∴EO∥FG，EF∥OG，
∴四邊形EFGO是平行四邊形（對邊相互平行的四邊形是平行四邊形），
過點G分別作EF，EO邊上的高為GN，GJ．
則GN=GJ（兩小道寬度相同）；
∵平行四邊形的面積為：EF×GN=EO×GJ，
∴EF=EO．
∴平行四邊形EFGO為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
∵NG=GJ，NG⊥EF，
∴FG＞NG，
∴縱向小道的底邊變大，而高不變，此時縱向小道面積增大，
∴此時種植面積變小，
故答案為：變化；

（3）解：如圖3，
∵OM=ON，
∴A點橫縱坐標相等，設坐標為：（x，x），
則EO=20+x，DE=-x，NO=-x，BN=30+x，
∵DE∥NB，
∴=，
∴=，
解得：x=-12，
故A點坐標為：A（-12，-12），
∴EC=DC-DE=30-12=18，FC=BC-BF=20-12=8，
故C點坐標為：（18，8），
將C點代入y=，得：xy=k=18×8=144，
故過點C的反比例函數的關系式為：y=．
點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及菱形的判定和平行線分線段成比例定理、反比例函數的性質等知識，根據已知得出A點橫縱坐標相等，再利用比例關系求出是解題關鍵．