Question

【題目】如圖，已知線段與點(diǎn)，若在線段上存在點(diǎn)，滿足，則稱(chēng)點(diǎn)為線段的“限距點(diǎn)”.

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn).

①在中，是線段的“限距點(diǎn)”的是 ；

②點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的“限距點(diǎn)”，請(qǐng)求出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn). 上存在線段的“限距點(diǎn)”，請(qǐng)求出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）.

【解析】

（1）①已知AB=2，根據(jù)勾股定理，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，即可得到答案；

②根據(jù)題意，作出“限距點(diǎn)”的軌跡，結(jié)合圖形，即可得到答案；

（2）結(jié)合（1）的軌跡，作出圖像，可分為兩種情況進(jìn)行分析，分別求出兩個(gè)臨界點(diǎn)，即可求出t的取值范圍.

（1）①根據(jù)題意，如圖：

∵點(diǎn)，

∴AB=2，

∵點(diǎn)C為（0，2），點(diǎn)O（0，0）在AB上，

∴OC=AB=2；

∵E為，點(diǎn)O（0，0）在AB上，

∴OE=；

∵點(diǎn)D（）到點(diǎn)A的距離最短，為；

∴線段的“限距點(diǎn)”的是點(diǎn)C、E；

故答案為：C、E.

②由題意直線上滿足線段的“限距點(diǎn)”的范圍，如圖所示.

∴點(diǎn)在線段上（包括端點(diǎn)），

∵AM=AB=2，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（n，n）（n<0），

∵，

∴，

∴，

易知，

點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為：.

（2）∵與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，

∴令y=0，得；令x=0，得，

∴點(diǎn)M為：（），點(diǎn)N為：（0，）；

如圖所示，

此時(shí)點(diǎn)M到線段AB的距離為2，

∴，

∴；

如圖所示，AE=AB=2，

∵∠EMG=∠EAF=30°，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵，AG=1，

∴

解得：；

綜上所述：的取值范圍為：.