Question

已知關于x的一元二次方程

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x2+(m-2)x+2m-6=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個實數(shù)根；
（2）當m＜3時，關于x的二次函數(shù)y=

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x2+(m-2)x+2m-6的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的條件下，過點C作直線l∥x軸，將二次函數(shù)圖象在y軸左側的部分沿直線l翻折，二次函數(shù)圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，記為G．請你結合圖象回答：當直線y=

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3

x+b與圖象G只有一個公共點時，b的取值范圍．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，得
△=（m-2）²-4×

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×（2m-6）
=（m-4）²，
∵無論m為任何數(shù)時，都有（m-4）²≥0，即△≥0．
∴無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個實數(shù)根；
（2）由題意，得
當y=0時，則

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x2+(m-2)x+2m-6=0，
解得：x₁=6-2m，x₂=-2，
∵m＜3，點A在點B的左側，
∴A（-2，0），B（-2m+6，0），
∴OA=2，OB=-2m+6．
當x=0時，y=2m-6，
∴C（0，2m-6），
∴OC=-（2m-6）=-2m+6．
∵2AB=3OC，
∴2（2-2m+6）=3（-2m+6），
解得：m=1；
（3）如圖，當m=1時，拋物線的解析式為y=

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x²-x-4，
點C的坐標為（0，-4）．
當直線y=

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x+b經過點C時，可得b=-4，
當直線y=

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x+b（b＜-4）與函數(shù)y=

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x²-x-4（x＞0）的圖象只有一個公共點時，得

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3

x+b═

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x²-x-4．
整理得：3x²-8x-6b-24=0，
∴△=（-8）²-4×3×（-6b-24）=0，
解得：b=-

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結合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為b＞-4或b＜-

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