如圖,等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上,頂點C在y軸正半軸上,B(4,2),一次函數(shù)y=kx-1的圖象平分它的面積,關(guān)于x的函數(shù)y=mx2-(3m+k)x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點,求m的值.

【答案】分析:過B作BE⊥AD于E,連接OB、CE交于點P,根據(jù)矩形OCBE的性質(zhì)求出B、P坐標,然后再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出k的值,將解析式y(tǒng)=mx2-(3m+k)x+2m+k中的k化為具體數(shù)字,再分m=0和m≠0兩種情況討論,得出m的值.
解答:解:過B作BE⊥AD于E,連接OB、CE交于點P,
∵P為矩形OCBE的對稱中心,則過點P的直線平分矩形OCBE的面積.
∵P為OB的中點,而B(4,2),
P點坐標為(2,1),
在Rt△ODC與Rt△EAB中,OC=BE,AB=CD,
Rt△ODC≌Rt△EAB(HL),Rt△ODC≌Rt△EBA,
∵P點坐標為(2,1),點P在直線y=kx-1上,
∴2k-1=1,k=1,
過點(0,-1)與P(2,1)的直線平分等腰梯形面積,這條直線為y=kx-1.
2k-1=1,則k=1.
∵關(guān)于x的函數(shù)y=mx2-(3m+1)x+2m+1的圖象與坐標軸只有兩個交點,
∴①當m=0時,y=-x+1,其圖象與坐標軸有兩個交點(0,1),(1,0);
②當m≠0時,函數(shù)y=mx2-(3m+1)x+2m+1的圖象為拋物線,且與y軸總有一個交點(0,2m+1),
若拋物線過原點時,2m+1=0,
即m=-,此時,△=(3m+1)2-4m(2m+1)=(m+1)2≥0,
故拋物線與x軸有兩個交點且過原點,符合題意.
若拋物線不過原點,且與x軸只有一個交點,也符合題意,此時△=(m+1)2=0,m=-1.
綜上所述,m的值為:m=0或-1或-
點評:此題考查了拋物線與坐標軸的交點,同時結(jié)合了梯形的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì),要注意數(shù)形結(jié)合,同時要進行分類討論,得到不同的m值.
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(1)求證:BD=DE;
(2)當DC=2時,求梯形面積.

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