Question

已知，如圖，延長(zhǎng)△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC為等邊三角形．

Answer 1

 證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）

∴FA=EC（等量加等量和相等）．

∵△DEF是等邊三角形（已知），

∴EF=DE（等邊三角形的性質(zhì)）．

又∵AE=CD（已知），

∴△AEF≌△CDE（SSS）．

 

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對(duì)應(yīng)角相等），

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），

△DEF是等邊三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質(zhì)），

∴∠BCA=60°（等量代換），

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角對(duì)等邊）．

∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．