Question

（2010•連云港）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，⊙C的圓心坐標為（-2，-2），半徑為．函數y=-x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P為AB上一動點．
（1）連接CO，求證：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求點P的坐標；
（3）當直線PO與⊙C相切時，求∠POA的度數；當直線PO與⊙C相交時，設交點為E、F，點M為線段EF的中點，令PO=t，MO=s，求s與t之間的函數關系，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要靠輔助線來完成解題．延長CO交AB于D，過點C作CG⊥x軸于點G，根據題意求得坐標A，B，繼而求出∠DAO=45°．然后根據點C的坐標求出CG=OG=2，故求得∠COG=45°，∠AOD=45°后可知∠ODA=90°，證得CO⊥AB．
（2）要使△PDA為等腰三角形，要分三種條件解答．即當OP=OA；當PO=PA以及AP=AC三種情況．
（3）當直線PO與⊙O相切時，設切點為K，連接CK，則CK⊥O．由點C的坐標為（-2，-2），易得CO=2，求出∠COK=30°，同理求出∠POA的另一個值為15°．因為M為EF的中點，可以推出△COM∽△POD，然后根據線段比求出MO•PO=CO•DO．求出st的值．故當PO過圓心C時，可求出s的值．
解答：（1）證明：延長CO交AB于D，過點C作CG⊥x軸于點G．
∵直線AB的函數關系式是y=-x+2，∴易得A（2，0），B（0，2）
∴AO=BO=2
又∵∠AOB=90°，∴∠DAO=45°（1分）
∵C（-2，-2），∴CG=OG=2
∴∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
∴∠ODA=90°，
∴OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）

（2）解：要使△POA為等腰三角形
①當OP=OA時，此時點P與點B重合，∴點P坐標為（0，2）；
②當PO=PA時，由∠OAB=45°，∴點P恰好是AB的中點，∴點P坐標為（1，1）；
③當AP=AO時，則AP=2，過點P作PH⊥OA交于點H，在Rt△APH中，易得PH=AH=，∴OH=2-，∴點坐標為（2-，），
綜上所述，P（0，2）、P（2-，）、P（1，1）；

（3）解：當直線PO與⊙O相切時，設切點為K，連接CK，則CK⊥OK，
由點C的坐標為（-2，-2），易得CO=2，
又∵⊙C的半徑為，∴∠COK=30°，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一個值為15°
∴∠POA等于75°或15°（10分）
∵M為EF的中點，∴CM⊥EF
又∵∠COM=∠POD．CO⊥AB
∴△COM∽△POD
∴=，即MO•PO=CO•DO
∵PO=t，MO=s，CO=2，DO=，∴st=4．
當PO過圓心C時，MO=CO=2，PO=DO=，即MO•PO=4，也滿足st=4．∴s=．（）．
點評：本題難度偏大，考查的是一次函數的運用，圓的知識以及相似三角形的有關知識．考生要注意的是要根據最基本的一次函數循序解答，不可大意．