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如圖,拋物線y1=ax2-2ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(0,)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若拋物線的頂點(diǎn)為M,點(diǎn)P為線段OB上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)Q在線段MB上移動,且∠MPQ=45°,設(shè)線段OP=x,MQ=y2,求y2與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中,兩條直線x=m,x=n分別與拋物線交于點(diǎn)E、G,與(2)中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F、H.問四邊形EFHG能否成為平行四邊形?若能,求m、n之間的數(shù)量關(guān)系;若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出y1的函數(shù)解析式;
(2)過M作MN⊥x軸于N,根據(jù)拋物線y1的函數(shù)解析式,即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo),可分別在Rt△MPN和Rt△MBN中,用勾股定理表示出MN的長,由此可得到關(guān)于PM、x的函數(shù)關(guān)系式;由于∠MPQ=∠MBP=45°,易證得△MPQ∽△MBP,根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可得到關(guān)于PM、y2的關(guān)系式,聯(lián)立兩式即可求出y2、x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)根據(jù)兩根拋物線的解析式和兩條直線的解析式,可求出E、F、G、H四點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到EF、GH的長,由于EF∥GH,若四邊形EFHG是平行四邊形,那么必有EF=GH,可據(jù)此求出m、n的數(shù)量關(guān)系.
解答:解:(1)∵拋物線y1=ax2-2ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(0,)兩點(diǎn);
,
解得
∴拋物線的解析式為y1=-x2+x+;

(2)作MN⊥AB,垂足為N.
由y1=-x2+x+,易得M(1,2),N(1,0),A(-1,0),B(3,0);
∴AB=4,MN=BN=2,MB=2,∠MBN=45°;
根據(jù)勾股定理有:BM2-BN2=PM2-PN2,
∴(22-22=PM2-(1-x)2…①;
又∠MPQ=45°=∠MBP,∠PMQ=∠BMP(公共角),
∴△MPQ∽△MBP,
∴PM2=MQ•MB=y2•2=2y2…②;
由①②得:y2=x2-x+
∵0≤x<3,
∴y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2-x+(0≤x<3);

(3)四邊形EFHG可以為平行四邊形,m、n之間的數(shù)量關(guān)系是:m+n=2(0≤m≤2且m≠1);
∵點(diǎn)E、G是拋物線y1=-x2+x+分別與直線x=m,x=n的交點(diǎn),
∴點(diǎn)E、G坐標(biāo)為E(m,-m2+m+),G(n,-n2+n+);
同理,點(diǎn)F、H坐標(biāo)為F(m,m2-m+),H(n,n2-n+).
∴EF=m2-m+-(-m2+m+)=m2-2m+1,GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1;
∵四邊形EFHG是平行四邊形,EF=GH,
∴m2-2m+1=n2-2n+1,
∴(m+n-2)(m-n)=0;
∵由題意知m≠n,
∴m+n=2(m≠1);
因此四邊形EFHG可以為平行四邊形,m、n之間的數(shù)量關(guān)系是m+n=2(0≤m≤2且m≠1).
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識,綜合性強(qiáng),難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點(diǎn)P(-
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),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求a值;
(2)設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo),寫出一條正確的結(jié)論,并通過計算說明;
(3)設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點(diǎn)Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點(diǎn),試問當(dāng)x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線y1=-x2+2向右平移1個單位得到拋物線y2,則圖中陰影部分的面積是( �。�

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線y1=a(x-m)2與y2關(guān)于y軸對稱,頂點(diǎn)分別為B、A,y1與y軸的交點(diǎn)為C.若由A,B,C組成的三角形中,tan∠ABC=2.求:
(1)a與m滿足的關(guān)系式;
(2)如圖,動點(diǎn)Q、M分別在y1和y2上,N、P在x軸上,構(gòu)成矩形MNPQ,當(dāng)a為1時,請問:
①Q(mào)點(diǎn)坐標(biāo)是多少時,矩形MNPQ的周長最短?
②若E為MQ與y軸的交點(diǎn),是否存在這樣的矩形,使得△CEQ與△QPB相似?若存在,請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•宜賓)如圖,拋物線y1=x2-1交x軸的正半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2,兩條拋物線相交于點(diǎn)C.
(1)請直接寫出拋物線y2的解析式;
(2)若點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn),且滿足∠CPA=∠OBA,求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在第四象限內(nèi)拋物線y2上,是否存在點(diǎn)Q,使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線y1=ax2+bx和直線y2=kx+m相交于點(diǎn)(-2,0)和(1,3),則當(dāng)y2<y1,時,x的取值范圍是
x>1或x<-2
x>1或x<-2

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同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鏁愭径濠勵吅闂佹寧绻傞幉娑㈠箻缂佹ḿ鍘遍梺闈涚墕閹冲酣顢旈銏$厸閻忕偠顕ч埀顒佺箓閻g兘顢曢敃鈧敮闂佹寧妫佹慨銈夋儊鎼粹檧鏀介柣鎰▕閸ょ喎鈹戦鐐毈闁硅櫕绻冮妶锝夊礃閵娧冨箣闂備胶鎳撻顓㈠磻濞戞氨涓嶉柣妯肩帛閳锋垹绱掔€n亜鐨¢柡鈧紒妯镐簻闁靛ǹ鍎查ˉ銏☆殽閻愯尙澧﹀┑鈩冪摃椤︻噣鏌涚€n偅宕屾俊顐㈠暙閳藉鈻庤箛鏃€鐣奸梺璇叉唉椤煤閺嵮屽殨闁割偅娲栫粻鐐烘煏婵炲灝鍔存繛鎾愁煼閹綊宕堕鍕婵犮垼顫夊ú鐔奉潖缂佹ɑ濯撮柧蹇曟嚀缁椻剝绻涢幘瀵割暡妞ゃ劌锕ら悾鐑藉级鎼存挻顫嶅┑顔矫ぐ澶岀箔婢跺ň鏀介柣鎰綑閻忥箓鎳i妶鍡曠箚闁圭粯甯炴晶娑氱磼缂佹ḿ娲寸€规洖宕灒闁告繂瀚峰ḿ鏃€淇婇悙顏勨偓鏇犳崲閹烘绐楅柡宓本缍庣紓鍌欑劍钃卞┑顖涙尦閺屻倝骞侀幒鎴濆Б闂侀潧妫楅敃顏勵潖濞差亝顥堥柍鍝勫暟鑲栫紓鍌欒兌婵敻骞戦崶顒佸仒妞ゆ棁娉曢悿鈧┑鐐村灦閻燂箑鈻嶉姀銈嗏拺閻犳亽鍔屽▍鎰版煙閸戙倖瀚� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽幃銏ゅ礂鐏忔牗瀚介梺璇查叄濞佳勭珶婵犲伣锝夘敊閸撗咃紲闂佺粯鍔﹂崜娆撳礉閵堝洨纾界€广儱鎷戦煬顒傗偓娈垮枛椤兘骞冮姀銈呯閻忓繑鐗楃€氫粙姊虹拠鏌ュ弰婵炰匠鍕彾濠电姴浼i敐澶樻晩闁告挆鍜冪床闂備胶绮崝锕傚礈濞嗘垹鐭嗛柛鎰ㄦ杺娴滄粓鏌¢崶褎顥滄繛灞傚€濋幃鈥愁潨閳ь剟寮婚悢鍛婄秶濡わ絽鍟宥夋⒑缁嬫鍎愰柛鏃€鐟╁璇测槈濡攱鐎婚棅顐㈡祫缁茬偓鏅ラ梻鍌欐祰椤曟牠宕板Δ鍛仭鐟滃繐危閹版澘绠婚悗娑櫭鎾绘⒑閸涘﹦绠撻悗姘卞厴閸┾偓妞ゆ巻鍋撻柣顓炲€垮璇测槈閵忕姈鈺呮煏婢诡垰鍟伴崢浠嬫煟鎼淬埄鍟忛柛鐘崇墵閳ワ箓鏌ㄧ€b晝绠氶梺褰掓?缁€渚€鎮″☉銏$厱閻忕偛澧介悡顖滅磼閵娿倗鐭欐慨濠勭帛閹峰懘宕ㄩ棃娑氱Ш鐎殿喚鏁婚、妤呭磼濠婂懐鍘梻浣侯攰閹活亞鈧潧鐭傚顐﹀磼閻愬鍙嗛梺缁樻礀閸婂湱鈧熬鎷�