(2012•江岸區(qū)模擬)等邊△OAB和△AEF的一邊都在x軸上,雙曲線y=
k
x
(k>0)經(jīng)過邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D.已知:OA=2,則△AEF的邊長為
-4+2
5
-4+2
5
分析:過C作CG⊥x軸,過D作DH⊥x軸,由△OAB為等邊三角形,OA=2,C為OB的中點(diǎn),得到∠BOA=60°,OC=1,在直角三角形OCG中,利用三角函數(shù)定義求出OG與CG的長,確定出C的坐標(biāo),代入反比例解析式中求出k的值,確定出反比例解析式,設(shè)等邊△AEF的邊長為a,由△AEF為等邊三角形,AE=AF=EF=a,C為OB的中點(diǎn),得到∠EAF=60°,表示出AD,同理表示出AH與DH的長,由OA+AH表示出OH的長,進(jìn)而表示出D的坐標(biāo),代入反比例解析式中求出a的值,即為三角形AEF的邊長.
解答:解:過C作CG⊥x軸,過D作DH⊥x軸,
∵△OAB為等邊三角形,OA=2,C為OB的中點(diǎn),
∴∠BOA=60°,OC=1,
在Rt△OCG中,sin∠BOA=
CG
OC
,cos∠BOA=
OG
OC
,
∴CG=OC•sin∠BOA=
3
2
,OG=OC•cos∠BOA=
1
2
,
∴C(
1
2
3
2
),
將C坐標(biāo)代入反比例解析式中得:k=
3
4
,
∴反比例解析式為y=
3
4x
,
設(shè)等邊△AEF的邊長為a,
∵△AEF為等邊三角形,AE=AF=EF=a,C為OB的中點(diǎn),
∴∠EAF=60°,AD=
1
2
a,
同理得到AH=
1
4
a,DH=
3
4
a,
∴OH=OA+AH=2+
1
4
a,
∴D(2+
1
4
a,
3
4
a),
代入反比例函數(shù)解析式得:
3
4
a(2+
1
4
a)=
3
4
,即a(2+
1
4
a)=1,
整理得:8a+a2=4,即a2+8a-4=0,
解得:a=
-8±4
5
2
=-4±2
5

而a=-4-2
5
不合題意,舍去,故a=-4+2
5
,
則等邊△AEF的邊長為-4+2
5

故答案為:-4+2
5
點(diǎn)評:此題考查了反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識有:坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角函數(shù)定義,等邊三角形的性質(zhì),以及待定系數(shù)法求反比例解析式,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
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28
28
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28
28
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28

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(2012•江岸區(qū)模擬)解方程:
x
x+1
+
x-1
x
=2

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