Question

（2012•江岸區(qū)模擬）等邊△OAB和△AEF的一邊都在x軸上，雙曲線y=

k

x

（k＞0）經(jīng)過邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D．已知：OA=2，則△AEF的邊長為

-4+2

5

．

Answer 1

分析：過C作CG⊥x軸，過D作DH⊥x軸，由△OAB為等邊三角形，OA=2，C為OB的中點(diǎn)，得到∠BOA=60°，OC=1，在直角三角形OCG中，利用三角函數(shù)定義求出OG與CG的長，確定出C的坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，設(shè)等邊△AEF的邊長為a，由△AEF為等邊三角形，AE=AF=EF=a，C為OB的中點(diǎn)，得到∠EAF=60°，表示出AD，同理表示出AH與DH的長，由OA+AH表示出OH的長，進(jìn)而表示出D的坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出a的值，即為三角形AEF的邊長．

解答：解：過C作CG⊥x軸，過D作DH⊥x軸，
∵△OAB為等邊三角形，OA=2，C為OB的中點(diǎn)，
∴∠BOA=60°，OC=1，
在Rt△OCG中，sin∠BOA=

CG

OC

，cos∠BOA=

OG

OC

，
∴CG=OC•sin∠BOA=

3

2

，OG=OC•cos∠BOA=

1

2

，
∴C（

1

2

，

3

2

），
將C坐標(biāo)代入反比例解析式中得：k=

3

4

，
∴反比例解析式為y=

3

4x

，
設(shè)等邊△AEF的邊長為a，
∵△AEF為等邊三角形，AE=AF=EF=a，C為OB的中點(diǎn)，
∴∠EAF=60°，AD=

1

2

a，
同理得到AH=

1

4

a，DH=

3

4

a，
∴OH=OA+AH=2+

1

4

a，
∴D（2+

1

4

a，

3

4

a），
代入反比例函數(shù)解析式得：

3

4

a（2+

1

4

a）=

3

4

，即a（2+

1

4

a）=1，
整理得：8a+a²=4，即a²+8a-4=0，
解得：a=

-8±4 5

2

=-4±2

5

，
而a=-4-2

5

不合題意，舍去，故a=-4+2

5

，
則等邊△AEF的邊長為-4+2

5

．
故答案為：-4+2

5

．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角函數(shù)定義，等邊三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求反比例解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．