Question

在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進行相似的判定；
（2）根據(jù)F為AD的中點，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC．
解答：解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F為AD的中點，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
設EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴=，即可得：6x²=12，
解得：x=，
則CF=3，
在Rt△CFD中，DF==，
∴BC=2DF=2．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對應邊成比例．