Question

18、如圖，已知⊙O的半徑為R，以⊙O上一點(diǎn)A為圓心，以r為半徑作⊙A，又直徑PQ與⊙A相切，切點(diǎn)為D，且交⊙O于P、Q．求證：AP•AQ為定值．

Answer 1

分析：由PQ為⊙O的直徑，得到∠PAQ=90°，PQ=2R，又PQ切⊙A于D，得到AD⊥PQ，AD=r，易證Rt△QAD∽R(shí)t△QPA，所以AP•AQ=AD•PQ．
得到AP•AQ=2Rr，即可說(shuō)明AP•AQ為定值．

解答：解：∵PQ為⊙O的直徑，
∴∠PAQ=90°，PQ=2R，
又∵PQ切⊙A于D，
∴AD⊥PQ，AD=r，
∴Rt△QAD∽R(shí)t△QPA，
∴AP•AQ=AD•PQ．
∴AP•AQ=2Rr，
即AP•AQ為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線；過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等．也考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角以及三角形相似的判定與性質(zhì)．