Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），二次函數(shù)的圖象為.

（1）平移拋物線，使平移后的拋物線過點(diǎn)A，但不過點(diǎn)B，寫出平移后的拋物線的一個(gè)解析式（任寫一個(gè)即可）.

（2）平移拋物線，使平移后的拋物線過A、B兩點(diǎn)，記拋物線為，如圖（2），求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（3）設(shè)P為y軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（4）請(qǐng)?jiān)趫D（2）上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使為等腰三角形. 若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)Q共有幾個(gè)可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）等 （滿足條件即可）                  ……1分

（2）設(shè)的解析式為，聯(lián)立方程組，

解得：，則的解析式為，                 ……3分

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）                                             ……4分

（3）如答圖23-1，過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則，，，，，.

得：.                          ……5分

延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)G，直線AB的解析式為，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）

①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)，，連結(jié)AP、BP，則，又，得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）.              …… 6分

②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí)，，同理，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）.

綜上所述所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）                   …… 7分

 (4) 作圖痕跡如答圖23-2所示.

由圖可知，滿足條件的點(diǎn)有、、、，共4個(gè)可能的位置.       …… 12分