(2010•三明)如圖①,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(12,0)、B(-4,0)、C(0,-12).頂點(diǎn)為M,過點(diǎn)A的直線y=kx-4交y軸于點(diǎn)N.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對(duì)稱軸;
(2)試判斷△AMN的形狀,并說明理由;
(3)將AN所在的直線l向上平移.平移后的直線l與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D、E(如圖②).當(dāng)直線l平移時(shí)(包括l與直線AN重合),在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PDE是以DE為直角邊的等腰直角三角形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)題是典型的待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法很容易求解;
(2)題要想證明等腰直角三角形,需要證明等腰,需要證明直角,而證明等腰三角形和證明直角均需要利用坐標(biāo)求出MN和AN長,并利用勾股定理逆定理(或全等)完成證明;
(3)易求得直線AN的解析式,由于直線l與直線AN平行,可根據(jù)直線AN的斜率設(shè)出直線l的解析式,根據(jù)解析式可得OD=3OE;然后分兩種情況考慮:
①點(diǎn)E是直角頂點(diǎn),1)很顯然點(diǎn)M符合點(diǎn)P的要求;
2)過P作PQ⊥y軸于Q,由于△PDE是等腰直角三角形,易證得Rt△ODE≌Rt△QEP,可得到OE=PQ=4,而OD=3OE,即可得到OD的長,也就得到了EQ、OQ的長,進(jìn)而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);
②點(diǎn)D是直角頂點(diǎn),可設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為K,解法與(3)①相同.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c;
∵拋物線過點(diǎn)C(0,-12),
∴c=-12;(1分)
又∵它過點(diǎn)A(12,0)和點(diǎn)B(-4,0),
,
解得
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2-2x-12,(3分)
拋物線的對(duì)稱軸為x=4.(5分)

(2)解法一:
∵在y=kx-4中,當(dāng)x=0時(shí),y=-4,
∴y=kx-4與y軸的交點(diǎn)N(0,-4);(6分)
∵y=x2-2x-12=(x-4)2-16,
∴頂點(diǎn)M(4,-16);(7分)
∵AM2=(12-4)2+162=320,
AN2=122+42=160,
MN2=42+(16-4)2=160,
∴AN2+MN2=160+160=320=AM2,
AN=MN;(9分)
∴△AMN是等腰直角三角形.(10分)
解法二:
過點(diǎn)M作MF⊥y軸于點(diǎn)F,則有
MF=4,NF=16-4=12,OA=12,ON=4;(6分)
∴MF=ON,NF=OA,(7分)
又∵∠AON=∠MFN=90°,
∴△AON≌△NFM;(8分)
∴∠MNF=∠NAO,AN=MN;(9分)
∵∠NAO+∠ANO=90°,即∠MNF+∠ANO=90°,
∴∠MNA=90;
∴△AMN是等腰直角三角形.(10分)

(3)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為:
(4,-16),(4,-8),(4,-3),(4,6)(14分)
參考解答如下:
∵y=kx-4過點(diǎn)A(12,0),
∴k=;
直線l與y=x-4平行,
設(shè)直線l的解析式為y=x+b;
則它與x軸的交點(diǎn)D(-3b,0),與y軸交點(diǎn)E(0,b);
∴OD=3OE;
設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為K;
(Ⅰ)以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)如圖;
①根據(jù)題意,點(diǎn)M(4,-16)符合要求;
②過P作PQ⊥y軸,
當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時(shí),
有Rt△ODE≌Rt△QEP,
∴OE=PQ=4,QE=OD;
∵在Rt△ODE中,OD=3OE,
∴OD=12,QE=12,
∴OQ=8,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-8);
(Ⅱ)以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn);
同理在圖①中得到P(4,6),
在圖②中可得P(4,-3);
綜上所得:滿足條件的P的坐標(biāo)為:
(4,-16),(4,-8),(4,-3),(4,6).

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí),同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強(qiáng),難度較大.
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A.
B.
C.
D.

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B.AC=BE
C.CE=DE
D.∠CAE=∠B

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