Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以AB為一邊向三角形外作正方形ABDE，連接AD、BE，交點(diǎn)為O，且OC=．
（1）求證：OC平分∠ACB；
（2）求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：延長(zhǎng)CA到G，使AG=BC，連接GE，
∵四邊形ABDE是正方形，
∴AB=AE，∠EAB=90°，∠EAO=∠AB0=45°，AO=BO=EO．
∴∠GAE=∠CBA，
∴∠GAE+∠EAO=∠CBA+∠ABO，
即∠GAO=∠CBO．
在△GAO和△CBO中，
，
∴△GAO≌△CBO
∴GO=CO，∠AGO=∠BCO．
∴∠AGO=∠ACO．
∴∠ACO=∠BCO，
∴OC平分∠ACB；

（2）解：∵∠ACB=90°，OC平分∠ACB，
∴∠ACO=45°，
∴∠CGO=45°，
∴∠GOC=90．
在Rt△GOC中，由勾股定理，得
CG²=32+32，
∴CG=8，
∵AC=3，
∴AG=5，
∴BC=5．
答：BC的長(zhǎng)5．
分析：（1）延長(zhǎng)CA到G，使AG=BC，連接GE，連接GO，先可以證明△AGE≌△BCA，就可以得出GE=AC，∠GEA=∠CAB，由正方形的性質(zhì)可以得出EO=AO=BO，∠OAB=∠OEA，進(jìn)而可以得出△GAO≌△CBO，就可以得出GO=CO，∠AGO=∠BCO，就可以得出結(jié)論；
（2）由OC平分∠ACB可以得出∠ACB=45°，由勾股定理就可以求出CG的值，進(jìn)而可以求出AG的值，而AG=BC而求出結(jié)論
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．